W geometrii ośmiokąt jest wielokątem o ośmiu bokach. Ośmiokąt foremny ma osiem równych boków i równych kątów. Ośmiokąt foremny jest powszechnie rozpoznawany ze znaków stopu. Ośmiościan to ośmiościenny wielościan. Ośmiościan foremny ma osiem trójkątów o krawędziach równej długości. To właściwie dwie kwadratowe piramidy spotykające się u ich podstaw.
Formuła obszaru ośmiokąta
Wzór na pole ośmiokąta foremnego o bokach długości „a” to 2(1+sqrt (2))a^2, gdzie „sqrt” oznacza pierwiastek kwadratowy.
Pochodzenie
Ośmiokąt można oglądać jako 4 prostokąty, jeden kwadrat w środku i cztery równoramienne trójkąty w rogach.
Kwadrat ma pole a^2.
Trójkąty mają boki a, a/sqrt (2) i a/sqrt (2), zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa. Dlatego każdy ma powierzchnię a^2/4.
Prostokąty mają obszar a * a/sqrt (2).
Suma tych 9 obszarów to 2a^2 (1 + sqrt (2)).
Formuła objętości ośmiościanu
Wzór na objętość ośmiościanu foremnego o bokach „a” to a^3 * sqrt (2)/3.
Pochodzenie
Powierzchnia czworobocznej piramidy to powierzchnia podstawy * wysokość / 3. Powierzchnia ośmiokąta foremnego wynosi zatem 2*podstawa*wysokość/3.
Podstawa = a^2 banalnie.
Wybierz dwa sąsiednie wierzchołki, powiedz „F” i „C”. "O" jest w centrum. FOC jest równoramiennym trójkątem prostokątnym o podstawie „a”, więc OC i OF mają długość a/sqrt (2) według twierdzenia Pitagorasa. Więc wysokość = a/sqrt (2).
Tak więc objętość ośmiościanu foremnego wynosi 2 * (a^2) * a/sqrt (2) / 3 = a^3 * sqrt (2) / 3.
Powierzchnia
Powierzchnia ośmiościanu foremnego to pole trójkąta równobocznego o boku "a" razy 8 ścian.
Aby użyć twierdzenia Pitagorasa, upuść linię od wierzchołka do podstawy. W ten sposób powstają dwa trójkąty prostokątne, z przeciwprostokątną o długości „a” i jednym boku o długości „a/2”. Dlatego trzecia strona musi mieć postać sqrt[a^2 - a^2/4] = sqrt (3)a/2. Tak więc pole trójkąta równobocznego to wysokość * podstawa/2 = sqrt (3)a/2 * a/2 = sqrt (3)a^2/4.
W przypadku 8 boków powierzchnia ośmiościanu foremnego wynosi 2 * sqrt (3) * a^2.