Opanowanie pojęć sinusa i cosinusa jest integralną częścią trygonometrii. Ale kiedy już masz te pomysły za pasem, stają się one budulcem dla innych przydatnych narzędzi w trygonometrii, a później w rachunku różniczkowym. Na przykład „prawo cosinusów” to specjalny wzór, którego możesz użyć do znalezienia brakującego boku trójkąta, jeśli znasz długość pozostałych dwóch boków plus kąt między nimi, lub znaleźć kąty trójkąta, gdy znasz wszystkie trzy boki.
Prawo cosinusów
Prawo cosinusów występuje w kilku wersjach, w zależności od kątów lub boków trójkąta, z którymi mamy do czynienia:
a^2 = b^2 + c^2 – 2bc × \cos (A) \\ b^2 = a^2 + c^2 – 2ac × \cos (B) \\ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab × \cos (C)
W każdej sprawie,za, bidosą bokami trójkąta iZA, b, lubdoto kąt przeciwny do boku tej samej litery. WięcZAjest kątem po przeciwnej stroniea, Bjest kątem po przeciwnej stronieb, idojest kątem po przeciwnej stroniedo. Jest to forma równania, którego używasz, gdy obliczasz długość jednego z boków trójkąta.
Prawo cosinusów można również przepisać w wersjach, które ułatwiają znalezienie dowolnego z trzech kątów trójkąta, zakładając, że znasz długości wszystkich trzech boków trójkąta:
cos (A) = \frac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc} \\ \,\\ cos (B) = \frac{c^2 + a^2 - b^2}{ 2ac} \\ \,\\ cos (C) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}
Rozwiązywanie dla strony
Aby użyć prawa cosinusów do obliczenia boku trójkąta, potrzebujesz trzech informacji: długości pozostałych dwóch boków trójkąta oraz kąta między nimi. Wybierz wersję formuły, w której strona, którą chcesz znaleźć, znajduje się po lewej stronie równania, a informacje, które już masz, znajdują się po prawej stronie. Więc jeśli chcesz znaleźć długość bokuza, użyjesz wersji
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc × \cos (A)
Zastąp wartości dwóch znanych stron i kąt między nimi we wzorze. Jeśli twój trójkąt ma znane bokibidoktóre mierzą odpowiednio 5 jednostek i 6 jednostek, a kąt między nimi wynosi 60 stopni (co może być również wyrażone w radianach jako π/3), otrzymasz:
a^2 = 5^2 + 6^2 - (2 × 5 × 6) × \cos (60)
Użyj tabeli lub kalkulatora, aby sprawdzić wartość cosinusa; w tym przypadku cos (60) = 0,5, co daje równanie:
a^2 = 5^2 + 6^2 – (2 × 5 × 6) × 0,5
Uprość wynik kroku 2. To daje:
a^2 = 25 + 36 - 30
Co z kolei upraszcza:
a^2 = 31
Wyciągnij pierwiastek kwadratowy z obu stron, aby zakończyć rozwiązywanie dlaza. To pozostawia ci:
a = \sqrt{31}
Chociaż możesz użyć wykresu lub kalkulatora, aby oszacować wartość √31 (jest to 5,568), często będziesz mógł – a nawet zachęcać – pozostawić odpowiedź w bardziej precyzyjnej, radykalnej formie.
Rozwiązywanie dla kąta
Możesz zastosować ten sam proces, aby znaleźć dowolny z kątów trójkąta, jeśli znasz wszystkie trzy jego boki. Tym razem wybierzesz wersję formuły, w której brakujący kąt lub kąt „nie znam go” po lewej stronie znaku równości. Wyobraź sobie, że chcesz znaleźć miarę kąta C (który, pamiętaj, jest zdefiniowany jako kąt po przeciwnej stronie)do). Użyjesz tej wersji formuły:
\cos (C) = \frac{a^2 + b^2 – c^2}{2ab}
Podstaw znane wartości – w zadaniu tego typu oznacza to długości wszystkich trzech boków trójkąta – do równania. Jako przykład niech boki twojego trójkąta będąza= 3 jednostki,b= 4 jednostki ido= 25 jednostek. Więc twoje równanie staje się:
\cos (C) = \frac{3^2 + 4^2 - 5^2}{2 × 3 × 4}
Gdy uprościsz wynikowe równanie, będziesz miał:
\cos (C) = \frac{0}{24}
lub po prostu bo(do) = 0.
Oblicz odwrotny cosinus lub arcus cosinus równy 0, często zapisywany jako cos-1(0). Innymi słowy, który kąt ma cosinus równy 0? W rzeczywistości są dwa kąty, które zwracają tę wartość: 90 stopni i 270 stopni. Ale z definicji wiesz, że każdy kąt w trójkącie musi być mniejszy niż 180 stopni, więc pozostaje tylko 90 stopni jako opcja.
Tak więc miara twojego brakującego kąta wynosi 90 stopni, co oznacza, że masz do czynienia z trójkątem prostokątnym, chociaż ta metoda działa również z trójkątami nieprostymi.