W geometrii radian jest jednostką używaną do pomiaru kątów. Radian pochodzi z długości promienia okręgu. Odcinek obwodu okręgu, który odpowiada kątowi utworzonemu przez dwie linie promienia, tworzy łuk. Kąt tworzony przez ten łuk podczas rysowania linii od jego punktu początkowego i końcowego do środka okręgu wynosi jeden radian. Chociaż na początku radian może wydawać się dziwny i skomplikowany, upraszcza równania matematyczne i fizyczne.
TL; DR (zbyt długi; Nie czytałem)
W geometrii radian jest jednostką opartą na okręgu i używaną do pomiaru kątów. Ułatwia obliczenia w zaawansowanych typach matematyki.
Stopnie a Radiany
Poza fizyką i zaawansowaną matematyką stopnie są zwykle bardziej znanymi jednostkami do pomiarów kątowych. Na przykład koło ma 360 stopni, trójkąt ma 180, a kąt prosty ma 90. Natomiast pełne koło ma 2 × π (pi) radianów, trójkąt ma π radianów, a kąt prosty to π/2 radiany. Okrąg ma pełną liczbę stopni, podczas gdy w radianach wartość jest liczbą niewymierną, więc radiany na pierwszy rzut oka mogą wydawać się dziwne. Z drugiej strony możesz wyrazić ułamki stopnia jako ułamek dziesiętny lub jako minuty, sekundy i sekundy dziesiętne, których używasz również z czasem, więc stopień ma swoje własne problemy.
Łatwiej i trudniej
Pomiary stopni są zazwyczaj łatwiejsze niż w radianach w przypadku podstawowej arytmetyki i trygonometrii; rzadko masz do czynienia z ułamkami π podczas wyrażania kąta. Ale w przypadku rachunku różniczkowego i innej zaawansowanej matematyki okazuje się, że radiany są łatwiejsze. Na przykład szereg potęgowy funkcji sinus w radianach jest następujący:
\sin (x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \frac{x^9 }{9!} +...
W stopniach funkcja wygląda tak:
\sin (x) = (π × x/180) - \frac{(π × x/180)^3}{3!} + \frac{(π × x/180)^5}{5!} - \frac{ (π × x/180)^7}{7!} + \frac{(π × x/180)^9}{9!} + ...
W przypadku tej serii potęg należy pamiętać, że należy powtórzyć „π ×x/180” dla każdego terminu – dużo dodatkowego pisania i obliczeń w porównaniu do schludniejszego, bardziej kompaktowego odpowiednika w radianach. Radian pochodzi z naturalnej geometrii koła, a nie z podziału przez dowolną liczbę, jak to się dzieje w stopniach. Ponieważ radiany ułatwiają wiele obliczeń, matematycy uważają jednostkę za bardziej „naturalną” niż stopnie.
Zastosowania radianów
Oprócz szeregów potęgowych, takich jak przykład funkcji sinus, w matematyce zobaczysz radiany obejmujące rachunek różniczkowy i równania różniczkowe. Na przykład, gdy używasz radianów, pochodną funkcji sinus, sin(x), to po prostu cosinus, cos(x). W stopniach jednak pochodna sin(x) jest bardziej kłopotliwe (π ÷ 180) × cos(x). W miarę postępów w matematyce problemy stają się coraz trudniejsze, a rozwiązania wymagają znacznie więcej linii obliczeń i algebry. Radiany oszczędzają wiele niepotrzebnego dodatkowego pisania i zmniejszają ryzyko popełnienia błędów.
W fizyce wzory na częstotliwość fal i prędkość obrotową obiektów używają małej litery omega, „ω”, jako wygodny skrót dla „2 × π × radiany na sekundę”.
Zamiana stopni na radiany
Formuły konwersji stopni na radiany iz powrotem są proste. Aby zamienić kąty w stopniach na radiany, pomnóż kąt przez π, a następnie podziel przez 180. Na przykład okrąg ma 360 stopni. Pomnożone przez π, co daje 360π; następnie podziel przez 180, a otrzymasz radiany 2π. Aby zamienić radiany na stopnie, pomnóż przez 180, a następnie podziel przez π. Na przykład przekształć kąt prosty, π ÷ 2 radiany. Pomnóż przez 180, aby uzyskać 90π, a następnie podziel przez π, aby uzyskać wynik 90 stopni.