Co się dzieje, gdy podnosisz liczbę do ułamka?

Kiedy „podnosisz liczbę do potęgi”, mnożysz tę liczbę przez samą siebie, a „siła” oznacza, ile razy to robisz. Czyli 2 podniesione do potęgi trzeciej to to samo, co 2 x 2 x 2, co równa się 8. Kiedy jednak podnosisz liczbę do ułamka, idziesz w przeciwnym kierunku – próbujesz znaleźć „pierwiastek” tej liczby.

Matematycznym terminem na podniesienie liczby do potęgi jest „potęgowanie”. Wyrażenie wykładnicze składa się z dwóch części: podstawy, która jest liczba, którą podnosisz, i wykładnik, który jest „mocą”. Więc kiedy podniesiesz 2 do trzeciej potęgi, podstawa to 2, a wykładnik wynosi 3. Podnoszenie podstawy do potęgi 2 jest powszechnie nazywane kwadraturą podstawy, natomiast podnoszenie jej do potęgi 3 jest powszechnie nazywane kostkowaniem podstawy. Matematycy zwykle piszą wyrażenia wykładnicze z wykładnikiem w indeksie górnym – to znaczy jako małą liczbę w prawym górnym rogu podstawy. Ponieważ niektóre komputery, kalkulatory i inne urządzenia nie radzą sobie zbyt dobrze z indeksem górnym, wyrażenia wykładnicze są często pisane w ten sposób: 2^3. Karetka – symbol skierowany w górę – mówi, że po nim następuje wykładnik.

W matematyce „korzenie” są trochę jak odwrócone wykładniki. Na przykład weź „2 do potęgi czwartej”, w skrócie 2^4. To równa się 2 x 2 x 2 x 2, czyli 16. Ponieważ 2 pomnożone przez siebie cztery razy daje 16, „czwarty pierwiastek” z 16 wynosi 2. Teraz spójrz na numer 729. Daje to 9 x 9 x 9 -- więc 9 jest trzecim pierwiastkiem z 729. Rozkłada się również do 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 -- więc 3 jest szóstym pierwiastkiem z 729. Drugi pierwiastek liczby jest powszechnie nazywany pierwiastek kwadratowy, a trzeci pierwiastek to pierwiastek sześcienny.

Kiedy wykładnik jest ułamkiem, szukasz pierwiastka podstawy. Korzeń odpowiada mianownikowi ułamka. Weźmy na przykład „125 podniesione do potęgi 1/3” lub 125^1/3. Mianownik ułamka to 3, więc szukasz trzeciego pierwiastka (lub pierwiastka sześciennego) z 125. Ponieważ 5 x 5 x 5 = 125, trzeci pierwiastek 125 to 5. Zatem 125^1/3 = 5. Teraz wypróbuj 256^1/4. Szukasz czwartego pierwiastka z 256. Ponieważ 4 x 4 x 4 x 4 = 256, odpowiedź to 4.

wykładniki ułamkowe omówione do tej pory – 1/3 i 1/4 – mają każdy licznik równy 1. Jeśli licznik jest inny niż 1, wykładnik tak naprawdę instruuje cię, abyś wykonał dwie operacje: znalezienie pierwiastka i podniesienie do potęgi. Na przykład weź 8^2/3. Mianownik „3” mówi, że szukasz pierwiastka sześciennego; licznik „2” mówi ci, że będziesz podnosić się do drugiej potęgi. Nie ma znaczenia, którą operację wykonasz jako pierwszą. Tak czy inaczej uzyskasz ten sam wynik. Możesz więc zacząć od wzięcia trzeciego pierwiastka z 8, czyli 2, a następnie podniesienia go do drugiej potęgi, co dałoby 4. Możesz też zacząć od podniesienia 8 do drugiej potęgi, co równa się 64, a następnie wzięcia trzeciego pierwiastka z tej liczby, czyli 4. Ten sam wynik.

W rzeczywistości zasada „licznik jako potęga, mianownik jako pierwiastek” dotyczy wszystkich wykładników — nawet wykładników liczb całkowitych i wykładników ułamkowych z licznikiem równym 1. Na przykład liczba całkowita 2 jest odpowiednikiem ułamka 2/1. Zatem wyrażenie wykładnicze 9^2 to „naprawdę” 9^2/1. Podniesienie 9 do drugiej potęgi daje 81. Teraz musisz zdobyć „pierwszy korzeń” z 81. Ale pierwszym pierwiastkiem dowolnej liczby jest sama liczba, więc odpowiedzią pozostaje 81. Teraz spójrz na wyrażenie 9^1/2. Możesz zacząć od podbicia 9 do „pierwszej potęgi”. Ale każda liczba podniesiona do 1. potęgi jest samą liczbą. Więc wszystko, co musisz zrobić, to uzyskać pierwiastek kwadratowy z 9, czyli 3. Zasada nadal obowiązuje, ale w takich sytuacjach możesz pominąć krok.