Nie możesz rozwiązać równania zawierającego ułamek z mianownikiem niewymiernym, co oznacza, że mianownik zawiera wyraz ze znakiem pierwiastka. Obejmuje to pierwiastki kwadratowe, sześcienne i wyższe. Pozbycie się radykalnego znaku nazywamy racjonalizacją mianownika. Kiedy mianownik ma jeden wyraz, możesz to zrobić, mnożąc wyrazy górne i dolne przez radykał. Gdy mianownik ma dwa wyrazy, procedura jest nieco bardziej skomplikowana. Mnożysz górę i dół przez sprzężenie mianownika i rozszerzasz i po prostu licznik.
TL; DR (zbyt długi; Nie czytałem)
Aby zracjonalizować ułamek, musisz pomnożyć licznik i mianownik przez liczbę lub wyrażenie, które usuwa radykalne znaki w mianowniku.
Racjonalizacja ułamka z jednym wyrazem w mianowniku
Najłatwiej zracjonalizować ułamek z pierwiastkiem kwadratowym z jednego wyrazu w mianowniku. Ogólnie ułamek przyjmuje postaćza / √x. Racjonalizujesz to, mnożąc licznik i mianownik przez √x.
\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} × \frac{ a}{\sqrt{x}} = \frac{a\sqrt{x}}{x}
Ponieważ wszystko, co zrobiłeś, to pomnożenie ułamka przez 1, jego wartość się nie zmieniła.
Przykład:
Zracjonalizować
\frac{12}{\sqrt{6}}
Pomnóż licznik i mianownik przez √6, aby uzyskać
\frac{12\sqrt{6}}{6}
Możesz to uprościć dzieląc 6 przez 12, aby uzyskać 2, więc uproszczona forma zracjonalizowanego ułamka to
2\kwadrat{6}
Racjonalizacja ułamka z dwoma wyrazami w mianowniku
Załóżmy, że masz ułamek w formularzu
\frac{a + b}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}
Możesz pozbyć się radykalnego znaku w mianowniku, mnożąc wyrażenie przez jego koniugat. Dla ogólnego dwumianu formyx + tak, koniugat tox − tak. Kiedy pomnożysz je razem, otrzymaszx2 − tak2. Stosując tę technikę do uogólnionej frakcji powyżej:
\frac{a + b}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} × \frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} \ \ \,\\ (a + b) × \frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{x - y}
Rozwiń licznik, aby uzyskać
\frac{a\sqrt{x} -a\sqrt{y} + b\sqrt{x} - b\sqrt{y}}{x - y}
To wyrażenie staje się mniej skomplikowane, gdy podstawiasz liczby całkowite dla niektórych lub wszystkich zmiennych.
Przykład:
Racjonalizuj mianownik ułamka
\frac{3}{1 - \sqrt{y}}
Sprzężeniem mianownika jest 1 − ( −√tak) = 1+ √tak. Pomnóż licznik i mianownik przez to wyrażenie i uprość:
\frac{3 × (1 + \sqrt{y})}{1 - y} \\ \,\\ \frac{3 + 3\sqrt{y}}{1 - y}
Racjonalizacja korzeni sześciennych
Kiedy masz pierwiastek sześcienny w mianowniku, musisz pomnożyć licznik i mianownik przez pierwiastek sześcienny z kwadratu liczby pod znakiem pierwiastka, aby pozbyć się znaku pierwiastka w mianownik. Ogólnie, jeśli masz ułamek w formularzuza / 3√x, pomnóż górę i dół przez 3√x2.
Przykład:
Racjonalizuj mianownik:
\frac{7}{\sqrt[3]{x}}
Pomnóż licznik i mianownik przez 3√x2 dostać
\frac{7 × \sqrt[3]{x^2} }{ \sqrt[3]{x} × \sqrt[3]{x^2} }= \frac{7 × \sqrt[3]{x ^2} }{ \sqrt[3]{x^3}} \\ \,\\ \frac{7 \sqrt[3]{x^2}}{x}