Jak znaleźć pionowe i poziome asymptoty

Niektóre funkcje wyrażone na wykresie są ciągłe od nieskończoności ujemnej do nieskończoności dodatniej. Jednak nie zawsze tak jest: inne funkcje załamują się w punkcie nieciągłości lub wyłączają się i nigdy nie przekraczają określonego punktu na wykresie. Asymptoty pionowe i poziome to linie proste, które definiują wartość, do której zbliża się dana funkcja, jeśli nie rozciąga się w nieskończoność w przeciwnych kierunkach. Asymptoty poziome są zawsze zgodne ze wzorem y = C, podczas gdy asymptoty pionowe zawsze przebiegają według podobnej formuły x = C, gdzie wartość C reprezentuje dowolną stałą. Znalezienie asymptot, niezależnie od tego, czy są one poziome czy pionowe, jest łatwym zadaniem, jeśli wykonasz kilka kroków.

Aby znaleźć pionową asymptotę, najpierw napisz funkcję, której asymptotę chcesz określić. Najprawdopodobniej ta funkcja będzie funkcją wymierną, w której zmienna x jest zawarta gdzieś w mianowniku. Z reguły, gdy mianownik funkcji wymiernej zbliża się do zera, ma asymptotę pionową. Po wypisaniu funkcji znajdź wartość x, która sprawia, że ​​mianownik jest równy zero. Na przykład, jeśli funkcja, z którą pracujesz, to y = 1/(x+2), możesz rozwiązać równanie x+2 = 0, równanie, które ma odpowiedź x = -2. Może istnieć więcej niż jedno możliwe rozwiązanie dla bardziej złożonych funkcji.

Po znalezieniu wartości x funkcji, weź granicę funkcji, gdy x zbliża się do wartości znalezionej z obu kierunków. W tym przykładzie, gdy x zbliża się do -2 od lewej, y zbliża się do ujemnej nieskończoności; gdy -2 zbliża się z prawej strony, y zbliża się do dodatniej nieskończoności. Oznacza to, że wykres funkcji dzieli się na nieciągłości, przeskakując od ujemnej nieskończoności do dodatniej nieskończoności. Jeśli pracujesz z bardziej złożoną funkcją, która ma więcej niż jedno możliwe rozwiązanie, musisz przyjąć limit każdego możliwego rozwiązania. Na koniec napisz równania pionowych asymptot funkcji, ustawiając x równe każdej z wartości użytych w granicach. W tym przykładzie jest tylko jedna asymptota: dana równaniem asymptota pionowa jest równa x = -2.

Chociaż reguły asymptot poziomych mogą się nieco różnić od reguł asymptot pionowych, proces znajdowania asymptot poziomych jest tak samo prosty, jak znajdowanie asymptot pionowych. Zacznij od wypisania swojej funkcji. Asymptoty poziome można znaleźć w wielu różnych funkcjach, ale ponownie najprawdopodobniej zostaną znalezione w funkcjach wymiernych. W tym przykładzie funkcja to y = x/(x-1). Przyjmij granicę funkcji, gdy x zbliża się do nieskończoności. W tym przykładzie „1” można zignorować, ponieważ staje się nieistotne, gdy x zbliża się do nieskończoności (ponieważ nieskończoność minus 1 to wciąż nieskończoność). Tak więc funkcja staje się x/x, co równa się 1. Dlatego granica, gdy x zbliża się do nieskończoności x/(x-1) jest równa 1.

Użyj rozwiązania granicy, aby napisać swoje równanie asymptoty. Jeśli rozwiązanie jest wartością stałą, istnieje pozioma asymptota, ale jeśli rozwiązaniem jest nieskończoność, nie ma poziomej asymptoty. Jeśli rozwiązaniem jest inna funkcja, istnieje asymptota, ale nie jest ani pozioma, ani pionowa. W tym przykładzie asymptota pozioma to y = 1.

Kiedy masz do czynienia z problemami z funkcjami trygonometrycznymi, które mają asymptoty, nie martw się: znajdowanie asymptot dla tych funkcji jest tak samo proste, jak wykonanie tych samych kroków, których używasz do znajdowania poziomych i pionowych asymptotów funkcji wymiernych, używając różnych granice. Jednak próbując to zrobić, ważne jest, aby zdać sobie sprawę, że funkcje trygonometryczne są cykliczne i w rezultacie mogą mieć wiele asymptot.