Nieracjonalna liczba nie jest tak przerażająca, jak się wydaje; to po prostu liczba, której nie można wyrazić jako prosty ułamek lub, inaczej mówiąc, an, liczba niewymierna to niekończąca się liczba dziesiętna, która kontynuuje nieskończoną liczbę miejsc po kropka dziesiętna. Większość operacji na liczbach niewymiernych można wykonywać tak samo, jak na liczbach wymiernych, ale jeśli chodzi o wyciąganie pierwiastków kwadratowych, będziesz musiał nauczyć się przybliżać wartość.
Co to jest liczba niewymierna?
Czym właściwie jest liczba niewymierna? Być może znasz już dwie bardzo znane liczby niewymierne: π lub „pi”, które prawie zawsze są skracane do 3,14, ale w rzeczywistości ciągną się nieskończenie na prawo od przecinka dziesiętnego; i „e”, aka liczba Eulera, która jest zwykle skracana jako 2,71828, ale również jest kontynuowana w nieskończoność na prawo od przecinka dziesiętnego.
Istnieje jednak znacznie więcej liczb irracjonalnych, a oto prosty sposób na wykrycie niektórych z nich: Jeśli liczba pod znakiem pierwiastka kwadratowego nie jest kwadratem idealnym, to pierwiastek kwadratowy jest nieracjonalny numer.
To strasznie duży kęs, więc oto przykład, aby to wyjaśnić. Warto również pamiętać, że idealny kwadrat to liczba, której pierwiastek kwadratowy jest liczbą całkowitą:
Czy √8 jest liczbą niewymierną?Jeśli nauczyłeś się na pamięć swoich idealnych kwadratów lub poświęcisz czas na ich wyszukanie, będziesz o tym wiedział
\sqrt{4} = 2 \text{ i } \sqrt{9} = 3
Ponieważ √8 znajduje się pomiędzy tymi dwiema liczbami, ale nie ma liczby całkowitej między 2 a 3, która byłaby jego pierwiastkiem, √8 jest niewymierne.
Obliczanie pierwiastka kwadratowego z liczby niewymiernej
Jeśli chodzi o obliczanie pierwiastka kwadratowego z liczby niewymiernej, masz dwie możliwości. Wprowadź liczbę niewymierną do kalkulatora lub internetowego kalkulatora pierwiastkowego (patrz Zasoby), w którym to przypadku kalkulator zwróci Ci przybliżoną wartość – lub możesz użyć czteroetapowego procesu do oszacowania wartości siebie.
Przykład 1:Oszacuj wartość liczby niewymiernej √8.
Znajdź idealne kwadraty, które byłyby po obu stronach √8 na osi liczbowej. W tym przypadku √4 = 2 i √9 = 3. Wybierz ten, który jest najbliżej Twojej liczby docelowej. Ponieważ 8 jest znacznie bliższe 9 niż 4, wybierz
\sqrt{9} = 3
Następnie podziel liczbę, której pierwiastek chcesz – 8 – przez swoje oszacowanie. Kontynuując przykład, masz:
\frac{8}{3} = 2,67
Teraz znajdź średnią wyniku z kroku 2 z dzielnikiem z kroku 2. Tutaj oznacza to uśrednienie 3 i 2,67. Najpierw dodaj dwie liczby razem, a następnie podziel przez dwa:
3 + 2.67 = 5.6667
(W rzeczywistości jest to powtarzalne 5,6666666666, ale zostało zaokrąglone do czterech miejsc po przecinku ze względu na zwięzłość).
\frac{5.6667}{2} = 2,83335
Wynik kroku 3 nadal nie jest dokładny, ale jest coraz bliżej. W razie potrzeby powtórz kroki 2 i 3, używając za każdym razem wyniku z kroku 3 jako nowego dzielnika w kroku 2.
Kontynuując przykład, podzielisz 8 przez wynik z kroku 3 (2.83335), który daje:
\frac{8}{2,83335} = 2,8235
(Ponownie zaokrąglamy do czterech miejsc po przecinku ze względu na zwięzłość).
Następnie uśredniłbyś wynik swojego dzielenia za pomocą dzielnika, co daje:
2,83335 + 2,8235 = 5,65685 \\ \,\\ \frac{5,65685}{2} = 2,828425
Możesz kontynuować ten proces, powtarzając kroki 2 i 3 w razie potrzeby, aż odpowiedź będzie tak dokładna, jak potrzebujesz.
A co z irracjonalnymi pierwiastkami kwadratowymi?
Czasami zamiast znaleźć pierwiastek kwadratowy z liczby niewymiernej, musisz mieć do czynienia z liczbami niewymiernymi, które są wyrażone w formie pierwiastka kwadratowego – jedną z najsłynniejszych, o których się dowiesz, jest √2.
Niewiele można zrobić z √2, poza przybliżeniem jej wartości, jak opisano powyżej. Ale jeśli otrzymasz większą liczbę niewymierną w postaci pierwiastka kwadratowego, możesz czasem użyć faktu, że
\sqrt{cd} = \sqrt{c} × \sqrt{d}
przepisać odpowiedź w prostszej formie.
Rozważmy irracjonalny pierwiastek kwadratowy √32. Chociaż nie ma głównego korzenia (to znaczy nieujemnego, całkowitego pierwiastka), można go rozłożyć na coś ze znanym głównym pierwiastkiem:
\sqrt{32} = \sqrt{16} × \sqrt{2}
Nadal niewiele możesz zrobić z √2, ale √16 = 4, więc możesz pójść o krok dalej i zapisać jako
\sqrt{32} = 4\sqrt{2}
Chociaż nie wyeliminowałeś całkowicie radykalnego znaku, uprościłeś tę niewymierną liczbę, jednocześnie zachowując jej dokładną wartość.
