W matematyce radykałem jest dowolna liczba zawierająca znak pierwiastka (√). Liczba pod znakiem pierwiastka jest pierwiastkiem kwadratowym, jeśli żaden indeks górny nie poprzedza znaku pierwiastka, pierwiastek sześcienny jest indeksem górnym 3 poprzedza go (3√), czwarty pierwiastek, jeśli poprzedza go 4 (4√) i tak dalej. Wielu pierwiastków nie da się uprościć, więc dzielenie przez jeden wymaga specjalnych technik algebraicznych. Aby z nich skorzystać, zapamiętaj te równości algebraiczne:
\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}
\sqrt{a × b} = \sqrt{a} × \sqrt{b}
Liczbowy pierwiastek kwadratowy w mianowniku
Ogólnie wyrażenie z liczbowym pierwiastkiem kwadratowym w mianowniku wygląda tak:
\frac{a}{\sqrt{b}}
Aby uprościć ten ułamek, racjonalizujesz mianownik, mnożąc cały ułamek przez √b/√b.
Dlatego
\sqrt{b} × \sqrt{b} = \sqrt{b^2} = b
wyrażenie staje się
\frac{a\sqrt{b}}{b}
Przykłady:
1. Racjonalizuj mianownik ułamka
\frac{5}{\sqrt{6}}
Rozwiązanie:Pomnóż ułamek przez √6/√6
\frac{5\sqrt{6}}{\sqrt{6}\sqrt{6}} \\ \,\\ \frac{5\sqrt{6}}{6} \text{ lub } \frac{5 }{6}× \sqrt{6}
2. Uprość ułamek
\frac{6\sqrt{32}}{3\sqrt{8}}
Rozwiązanie:W takim przypadku możesz uprościć, dzieląc liczby poza znakiem radykalnym i te wewnątrz niego w dwóch oddzielnych operacjach:
\frac{6}{3} = 2 \\ \,\\ \frac{\sqrt{32}}{ \sqrt{8}} = \sqrt{4} = 2
Wyrażenie sprowadza się do
2 × 2 = 4
Dzielenie według sześcianów
Ta sama ogólna procedura ma zastosowanie, gdy pierwiastek w mianowniku jest sześcianem, czwartym lub wyższym pierwiastkiem. Aby zracjonalizować mianownik z pierwiastkiem sześciennym, musisz poszukać liczby, która po pomnożeniu przez liczbę pod znakiem pierwiastka daje trzecią potęgę, którą można odjąć. Ogólnie rzecz biorąc, zracjonalizuj liczbę
\frac{a}{\sqrt[3]{b}} \text{ mnożąc przez } \frac{ \sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{b^2}}
Przykład:
1. Zracjonalizować
\frac{5}{\sqrt[3]{5}}
Pomnóż licznik i mianownik przez 3√25.
\frac{5 ×\sqrt[3]{25}}{\sqrt[3]{5} ×\sqrt[3]{25}} \\ \,\\ = \frac{5\sqrt[3]{ 25}}{\sqrt[3]{125}} \\ \,\\ = \frac{5\sqrt[3]{25}}{5}
Liczby poza radykalnym znakiem anulują się, a odpowiedź brzmi:
\sqrt[3]{25}
Zmienne z dwoma wyrazami w mianowniku
Gdy pierwiastek w mianowniku zawiera dwa wyrazy, zwykle można go uprościć, mnożąc przez jego odmianę. Koniugat zawiera te same dwa terminy, ale odwracasz znak między nimi Na przykład koniugat
x + y \text{ to } x - y
Kiedy pomnożysz je razem, otrzymasz
x^2 - y^2
Przykład:
1. Racjonalizuj mianownik
\frac{4}{x + \sqrt{3}}
Rozwiązanie: pomnóż górę i dół przez x − √3
\frac{4(x - \sqrt{3})}{(x + \sqrt{3})(x - \sqrt{3} )}
Uproszczać:
\frac{4x - 4\sqrt{3}}{x^2 - 3}