Prawo sinusów i prawo cosinusów to wzory trygonometryczne odnoszące miary kątów trójkąta do długości jego boków. Wywodzą się one z własności, że większe kąty w trójkątach mają proporcjonalnie większe przeciwległe boki. Użyj prawa sinusów lub prawa cosinusów do obliczenia długości boków trójkąta i czworokąta (a czworokąt to zasadniczo dwa sąsiednie trójkąty), jeśli znasz miarę jednego boku, jednego kąta i jednego dodatkowego boku lub kąt.
Znajdź dane trójkąta. Dane to długości boków i miary kątów, które są już znane. Nie możesz znaleźć miary długości boków trójkąta, jeśli nie znasz miary jednego kąta, jednego boku i albo innego boku, albo innego kąta.
Użyj danych, aby określić, czy trójkąt jest trójkątem ASA, AAS, SAS czy ASS. Trójkąt ASA ma podane dwa kąty oraz bok łączący te dwa kąty. Trójkąt AAS ma dwa kąty i inny bok zgodnie z danymi. Trójkąt SAS ma podane dwa boki oraz kąt utworzony przez te dwa boki. Trójkąt ASS ma dwa boki i inny kąt niż podane.
Użyj prawa sinusów, aby utworzyć równanie odnoszące się do długości boków, jeśli jest to trójkąt ASA, AAS lub ASS. Z prawa sinusów wynika, że stosunki sinusów kątów trójkąta i ich przeciwległych boków są równe:
\sin \bigg(\frac{A}{a}\bigg) = \sin \bigg(\frac{B}{b}\bigg) = \sin \bigg(\frac{C}{c}\bigg)
gdzieza, bidosą przeciwległe długości boków kątówZA, bido, odpowiednio.
Na przykład, jeśli wiesz, że dwa kąty to 40 stopni i 60 stopni, a łączący je bok miał 3 jednostki długości, utworzysz równanie:
\sin \bigg(\frac{80}{3}\bigg) = \sin \bigg(\frac{40}{b}\bigg) = \sin \bigg(\frac{60}{c}\bigg)
Wiesz, że kąt przeciwny do boku, który ma 3 jednostki długości, wynosi 80 stopni, ponieważ suma kątów trójkąta wynosi 180 stopni.
Użyj prawa cosinusów, aby utworzyć równanie odnoszące się do długości boków, jeśli jest to trójkąt SAS. Prawo cosinusów stanowi, że:
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C
Innymi słowy, kwadrat długości boku c jest równy kwadratom pozostałych dwóch długości boków minus iloczyn tych dwóch boków i cosinus kąta przeciwnego do nieznanego boku. Na przykład, jeśli obie strony miały 3 jednostki i 4 jednostki, a kąt wynosił 60 stopni, napisałbyś równanie
c^2 = 3^2 + 4^2 - 34 × \cos 60
Znajdź zmienne w równaniach, aby znaleźć nieznane długości trójkąta. Rozwiązywanie dlabw równaniu
\sin \bigg(\frac{80}{3}\bigg) = \sin \bigg(\frac{40}{b}\bigg)
daje wartość
b = 3 × \frac{\sin (40)}{\sin (80)}
więcbwynosi około 2. Rozwiązywanie dladow równaniu
\sin \bigg( \frac{80}{3}\bigg) = \sin \bigg(\frac{60}{c}\bigg)
daje wartość
c = 3 × \frac{\sin (60)}{\sin (80)}
więcdowynosi około 2,6. Podobnie, rozwiązując dladow równaniu
c^2 = 3^2 + 4^2 - 34 × \cos (60)
daje wartość
c^2 = 25 - 6 \text{ lub } c^2 = 19
więcdowynosi około 4,4.