długość łukuokręgu to odległość po zewnętrznej stronie tego okręgu między dwoma określonymi punktami. Gdybyś miał przejść jedną czwartą drogi wokół dużego koła i znał obwód koła, długość łuku odcinka, po którym przeszedłeś, byłaby po prostu obwodem koła, 2πr, podzielony przez cztery. Tymczasem odległość w linii prostej w poprzek okręgu między tymi punktami nazywana jest cięciwą.
Jeśli znasz miarę kąta środkowegoθ, czyli kąt pomiędzy liniami wychodzącymi ze środka okręgu i łączącymi się z końcami łuku, możesz łatwo obliczyć długość łuku:
L = \frac{θ}{360} × 2πr
Długość łuku bez kąta
Czasami jednak nie dostajeszθ. Ale jeśli znasz długość powiązanego akordudo, możesz obliczyć długość łuku nawet bez tych informacji, korzystając z następującego wzoru:
c = 2r \sin \bigg(\frac{θ}{2}\bigg)
Poniższe kroki zakładają okrąg o promieniu 5 metrów i cięciwie 2 metry.
Rozwiąż równanie akordów dlaθ
Podziel każdą stronę przez 2r(co jest równe średnicy koła). To daje
\frac{c}{2r} = \sin \bigg(\frac{θ}{2}\bigg)
W tym przykładzie
\frac{c}{2r} = \frac{2}{2×5} = 0,2
Znajdź odwrotny sinus (θ/2)
Ponieważ teraz masz
0,2 = \sin \bigg(\frac{θ}{2}\bigg)
musisz znaleźć kąt, który daje tę wartość sinus.
Użyj funkcji ARCSIN kalkulatora, często oznaczanej jako SIN-1, aby to zrobić, lub skorzystaj z kalkulatora szybkich tabel (patrz Zasoby).
\sin^{-1}(0,2) = 11,54=\frac{θ}{2} \\ \implikuje θ=23,08
Znajdź długość łuku
Wracając do równania
L = \frac{θ}{360} × 2πr
wprowadź znane wartości:
L = \frac{23,08}{360} × 2π × 5\text{ metrów} \\ \, \\= 0,0641 × 31,42 = 2,014 \text{ metrów}
Należy zauważyć, że przy stosunkowo krótkich długościach łuku długość cięciwy będzie bardzo zbliżona do długości łuku, jak sugeruje oględziny.