Koła są wszędzie w rzeczywistym świecie, dlatego ich promienie, średnice i obwód mają duże znaczenie w rzeczywistych zastosowaniach. Ale są też inne części okręgów – na przykład sektory i kąty – które również mają znaczenie w codziennych zastosowaniach. Przykłady obejmują rozmiary sektorów okrągłej żywności, takiej jak ciasta i torty, kąt przemieszczany w diabelskim młynie, rozmiar opony do konkretnego pojazdu, a zwłaszcza rozmiar pierścienia do zaręczyny lub ślub. Z tych i innych powodów geometria ma również równania i obliczenia problemowe dotyczące kątów środkowych, łuków i sektorów koła.
Jaki jest kąt centralny?
Kąt środkowy jest definiowany jako kąt utworzony przez dwa promienie lub promienie promieniujące ze środka okręgu, przy czym środek okręgu jest wierzchołkiem kąta środkowego. Kąty centralne są szczególnie istotne, jeśli chodzi o równomierne dzielenie pizzy lub innego jedzenia o okrągłym kształcie między określoną liczbę osób. Załóżmy, że na wieczorze jest pięć osób, podczas których mają się dzielić dużą pizzą i dużym ciastem. Pod jakim kątem należy podzielić zarówno pizzę, jak i ciasto, aby zapewnić wszystkim równy kawałek? Ponieważ w kole jest 360 stopni, obliczenie wynosi 360 stopni podzielone przez 5, aby uzyskać 72 stopnie, tak, aby każdy kawałek, czy to pizzy, czy ciasta, miał kąt centralny, czyli theta (θ), o wymiarach 72 stopnie.
Określanie kąta środkowego na podstawie długości łuku
Łuk koła odnosi się do „części” obwodu koła. Długość łuku jest zatem długością tej „części”. Jeśli wyobrażasz sobie kawałek pizzy, obszar sektora może być wizualizowany jako cały kawałek pizzy, ale długość łuku to długość zewnętrznej krawędzi skórki konkretny kawałek. Z długości łuku można obliczyć kąt środkowy. Rzeczywiście, jeden wzór, który może pomóc w określeniu kąta środkowego, stwierdza, że długość łuku (s) jest równa promieniowi razy kąt środkowy, lub
s = r × θ
gdzie kąt theta musi być mierzony w radianach. Tak więc, aby obliczyć kąt środkowy, theta, wystarczy podzielić długość łuku przez promień, lub
\frac{s}{r} = θ
Aby zilustrować, jeśli długość łuku wynosi 5,9, a promień wynosi 3,5329, to kąt środkowy wynosi 1,67 radiana. Innym przykładem jest to, że jeśli długość łuku wynosi 2, a promień wynosi 2, kąt środkowy staje się 1 radianem. Jeśli chcesz zamienić radiany na stopnie, pamiętaj, że 1 radian to 180 stopni podzielone przez π, czyli 57,2958 stopni. I odwrotnie, jeśli równanie wymaga zamiany stopni z powrotem na radiany, najpierw pomnóż przez π, a następnie podziel przez 180 stopni.
Określanie kąta środkowego z obszaru sektora
Inną użyteczną formułą określania kąta centralnego jest obszar sektora, który ponownie można zwizualizować jako kawałek pizzy. Ta konkretna formuła może być postrzegana na dwa sposoby. Pierwszy ma kąt środkowy mierzony w stopniach, tak że pole sektora jest równe π razy promień-kwadrat, a następnie pomnożony przez wielkość kąta środkowego w stopniach podzieloną przez 360 stopnie. Innymi słowy:
πr^2 × \frac{\text{kąt środkowy w stopniach}}{360 \text{ stopnie}} = \text{pole sektora}
Jeśli kąt środkowy jest mierzony w radianach, wzór przyjmuje postać:
\text{powierzchnia sektora} = r^2 × \frac{\text{kąt środkowy w radianach}}{2}
Zmiana układu wzorów pomoże znaleźć wartość kąta środkowego, czyli theta. Rozważmy obszar sektora o powierzchni 52,3 centymetra kwadratowego o promieniu 10 centymetrów. Jaki byłby jego kąt środkowy w stopniach? Obliczenia rozpoczęłyby się od obszaru sektora o powierzchni 52,3 centymetra kwadratowego równego:
\frac{θ}{360 \text{ stopni}} × πr^2
Ponieważ promień (r) wynosi 10, całe równanie można zapisać jako:
\frac{52,3}{100π} × 360
aby theta można było zapisać jako:
\frac{52.3}{314} × 360
W ten sposób ostateczna odpowiedź staje się centralnym kątem 60 stopni.