Jak wyjaśnić różne typy dowodów w geometrii?

Spójrz prawdzie w oczy: dowody nie są łatwe. A w geometrii sprawy wydają się być coraz gorzej, bo teraz trzeba zamieniać obrazy w logiczne stwierdzenia, wyciągać wnioski na podstawie prostych rysunków. Różne rodzaje dowodów, których uczysz się w szkole, mogą początkowo być przytłaczające. Ale kiedy zrozumiesz każdy typ, znacznie łatwiej będzie Ci zastanowić się, kiedy i dlaczego używać różnych typów dowodów w geometrii.

Dowód bezpośredni działa jak strzała. Zaczynasz od podanych informacji i budujesz na nich, podążając w kierunku hipotezy, którą chcesz udowodnić. Korzystając z dowodu bezpośredniego posługujesz się wnioskami, regułami z geometrii, definicjami kształtów geometrycznych i logiką matematyczną. Dowód bezpośredni jest najbardziej standardowym rodzajem dowodu i, dla wielu studentów, stylem przechodzenia do dowodu do rozwiązywania problemu geometrycznego. Na przykład, jeśli wiesz, że punkt C jest środkiem prostej AB, możesz udowodnić, że AC = CB przez używając definicji punktu środkowego: Punkt, który wypada w równej odległości od każdego końca linii człon. To działa na podstawie definicji punktu środkowego i liczy się jako bezpośredni dowód.

Dowód pośredni jest jak bumerang; pozwala odwrócić problem. Zamiast pracować tylko na otrzymanych stwierdzeniach i kształtach, zmieniasz problem, biorąc stwierdzenie, które chcesz udowodnić, i zakładając, że nie jest ono prawdziwe. Stamtąd pokazujesz, że to nie może być nieprawdą, co wystarczy, aby to udowodnić. Choć brzmi to dezorientująco, może uprościć wiele dowodów, które wydają się trudne do udowodnienia za pomocą dowodu bezpośredniego. Na przykład wyobraź sobie, że masz poziomą linię AC, która przechodzi przez punkt B, aw punkcie B jest linią prostopadłą do AC z punktem końcowym D, zwaną linią BD. Jeśli chcesz udowodnić, że miara kąta ABD wynosi 90 stopni, możesz zacząć od rozważenia, co by to znaczyło, gdyby miara ABD nie wynosiła 90 stopni. Prowadziłoby to do dwóch niemożliwych wniosków: AC i BD nie są prostopadłe, a AC nie jest prostą. Ale oba te fakty były podane w problemie, co jest sprzeczne. To wystarczy, aby udowodnić, że ABD wynosi 90 stopni.

Czasami spotykasz się z problemem, który prosi cię o udowodnienie, że coś nie jest prawdą. W takim przypadku możesz użyć wyrzutni, aby oderwać się od konieczności bezpośredniego radzenia sobie z problemem, zamiast tego podać kontrprzykład, aby pokazać, że coś nie jest prawdą. Kiedy używasz kontrprzykładu, potrzebujesz tylko jednego dobrego kontrprzykładu, aby udowodnić swoją rację, a dowód będzie ważny. Na przykład, jeśli chcesz sprawdzić poprawność lub unieważnić stwierdzenie „Wszystkie trapezy są równoległobokami”, wystarczy podać tylko jeden przykład trapezu, który nie jest równoległobokiem. Możesz to zrobić, rysując trapez z tylko dwoma równoległymi bokami. Istnienie kształtu, który właśnie narysowałeś, obaliłoby stwierdzenie „Wszystkie trapezy są równoległobokami”.

Tak jak geometria jest matematyką wizualną, schemat blokowy lub dowód przepływu jest rodzajem dowodu wizualnego. W dowodzie przepływu zaczynasz od spisania lub narysowania obok siebie wszystkich znanych ci informacji. Stąd wyciągaj wnioski, pisząc je w poniższej linii. Robiąc to, „układasz” swoje informacje, tworząc coś w rodzaju odwróconej piramidy. Korzystasz z informacji, które musisz wyciągnąć, aby wyciągnąć więcej wniosków z poniższych wierszy, aż dojdziesz do sedna, pojedynczego stwierdzenia, które udowadnia problem. Na przykład, możesz mieć linię L, która przecina punkt P linii MN, a pytanie prosi cię o udowodnienie MP = PN, biorąc pod uwagę, że L przecina MN na pół. Możesz zacząć od wpisania podanych informacji, pisząc „L przecina MN na P” u góry. Poniżej wpisz informację, która wynika z podanych informacji: Bisekcje tworzą dwa przystające odcinki linii. Obok tego stwierdzenia napisz fakt geometryczny, który pomoże ci dotrzeć do dowodu; dla tego problemu pomaga fakt, że przystające segmenty linii są równej długości. Napisz to. Poniżej tych dwóch informacji możesz napisać wniosek, który naturalnie jest następujący: MP = PN.