Fizycy porównują momenty bezwładności wirujących obiektów, aby określić, które z nich będą trudniejsze do przyspieszenia lub spowolnienia. Dotyczy to rzeczywistych sytuacji, takich jak ustalanie, które obiekty będą toczyć się najszybciej podczas wyścigu.
Czynnikami, które zmieniają moment bezwładności obiektu, są jego masa, rozkład tej masy – określony przez jego kształt i promień – oraz oś obrotu, na której się kręci.
Momenty bezwładności wspólnych obiektów
Ten diagram pokazuje równania momentu bezwładności dla kilku popularnych kształtów obracających się wokół różnych osi obrotu.
Porównywanie momentów bezwładności
Oto kilka przykładów problemów fizycznych, które wymagają użycia momentów bezwładności do porównywania różnych obiektów.
1. Które z poniższych będzie najłatwiejsze do rozpoczęcia: 7-kilogramowa pusta kula o promieniu 0,2 m czy 10-kilogramowa pełna kula o tym samym promieniu?
Zacznij od znalezienia momentów bezwładności dla każdego obiektu. Zgodnie z tabelą równanie na apusta kulajest:ja = 2/3mr2, a równanie na asolidna kulajestja = 2/5mr2.
Podstawiając podane masy i promienie:
Pusta kula: I = 2/3(7kg)(0.2m)2 = 0.19 kgm2
Solidny kula: I = 2/5(10kg)(0.2m)2 = 0.16 kgm2
Moment bezwładności tomniejszy dla pełnej kuli, tak będzienajłatwiej zacząć kręcić.
2. W jaki sposób najtrudniej jest obracać ołówkiem: o jego długość, wokół środka lub koniec nad końcem? Załóżmy, że ołówek ma długość 10 cm (0,1 m) i promień przekroju 3 mm (0,003 m).
W tym przypadku masa ołówka nie ma znaczenia w porównaniu, ponieważ się nie zmienia.
Aby określić, które równania mają zastosowanie, przybliż kształt ołówka jako cylindra.
Następnie trzy niezbędne równania momentu bezwładności to:
Cylinder o swojej długości(oś przechodzi przez całość, od czubka do gumki, czyli promień do osi obrotu)jestjego promień przekroju):
I=\frac{1}{2}mr^2=\frac{1}{2}m (0.003)^2=0.0000045m
Cylinder wokół jego środka(trzymany w środku, więc promień jego obrotu wynosipołowa jego długości):
I=\frac{1}{12}mr^2=\frac{1}{12}m (0,05)^2=0.0002083m
Cylinder wokół końca(trzymany za końcówkę lub gumkę, więc promień do osi obrotu)jestjego długość):
I=\frac{1}{3}mr^2=\frac{1}{3}m (0,1)^2=0.003333m
Im wyższy moment bezwładności obiektu, tym trudniej rozpocząć (lub zatrzymać) jego obrót.Ponieważ każda wartość jest mnożona przez to samom, tym większa wartość ułamka pomnożonego przez r2, tym wyższy będzie moment bezwładności. W tym przypadku 0,0033333 > 0,0002083 > 0,0000045, więc jesttrudniej obracać ołówkiem wokół końcaniż wokół pozostałych dwóch osi.
3. Który obiekt najpierw dotrze do dna rampy, jeśli wszystkie mają tę samą masę i promień i zostaną uwolnione od góry w tym samym czasie: obręcz, cylinder czy pełna kula? Zignoruj tarcie.
Kluczem do rozwiązania tego problemu jest zastosowanie zrozumieniazachowanie energii. Jeśli wszystkie obiekty mają tę samą masę i zaczynają się na tej samej wysokości, muszą zaczynać się z taką samą ilościągrawitacyjna energia potencjalna. To jestcałkowita energiamają dostęp do konwersji na energię kinetyczną i poruszania się w dół rampy.
Ponieważ obiekty będą staczać się po rampie, muszą zamieniać swoją początkową energię potencjalną na obierotacyjne i liniowe energie kinetyczne.
Oto haczyk: im więcej energii z całego ciasta zabiera obiektzacznij się kręcić, tym mniej będzie dostępne zaruch liniowy. To znaczyim łatwiej jest sprawić, by obiekt się toczył, tym szybciej będzie on poruszał się liniowo w dół rampy, wygrywając wyścig.
Następnie, ponieważ wszystkie masy i promienie są takie same, proste porównanie ułamków przed każdym równaniem momentu bezwładności ujawnia odpowiedź:
Kula stała: ja =2/5Pan2
Obręcz wokół osi: ja = mr2
Solidny cylinder o długości: ja =1/2Pan2
Od najmniejszego do największego momentu bezwładności, a co za tym idziepierwszy do ostatniego, aby dotrzeć do dna: kula, cylinder, obręcz.