Kinematyka obrotowa: co to jest i dlaczego ma znaczenie (z równaniami i przykładami)

Kinematyka to matematyczna gałąź fizyki, która wykorzystuje równania do opisu ruchu obiektów (w szczególności ichtrajektorie) bez odwoływania się do sił.

Oznacza to, że można po prostu wstawić różne liczby do zestawu czterech równań kinematycznych, aby znaleźć niewiadome w te równania bez konieczności znajomości fizyki stojącej za tym ruchem, opierając się tylko na swojej algebrze umiejętności.

Pomyśl o „kinematyce” jako połączeniu „kinetyki” i „matematyki” – innymi słowy, matematyki ruchu.

Kinematyka obrotowa jest dokładnie tym, ale w szczególności zajmuje się obiektami poruszającymi się po torach kołowych, a nie poziomo lub pionowo. Podobnie jak obiekty w świecie ruchu postępowego, te obracające się obiekty można opisać w kategoriach ich przemieszczenia, prędkości i przyspieszenie w czasie, chociaż niektóre zmienne z konieczności zmieniają się, aby dostosować się do podstawowych różnic między liniowym a kątowym ruch.

W rzeczywistości bardzo przydatne jest jednoczesne poznanie podstaw ruchu liniowego i obrotowego lub przynajmniej zapoznanie się z odpowiednimi zmiennymi i równaniami. Nie ma to cię przytłaczać, ale ma podkreślić podobieństwa.

Oczywiście należy pamiętać, gdy poznając te „rodzaje” ruchu w przestrzeni, translacja i rotacja nie wykluczają się wzajemnie. W rzeczywistości większość poruszających się obiektów w rzeczywistym świecie wykazuje kombinację obu rodzajów ruchu, przy czym jeden z nich często nie jest widoczny na pierwszy rzut oka.

Ponieważ „prędkość” zwykle oznacza „prędkość liniową”, a „przyspieszenie” oznacza „przyspieszenie liniowe”, o ile nie określono inaczej, warto zapoznać się z kilkoma prostymi przykładami ruchu.

Ruch liniowy dosłownie oznacza ruch ograniczony do jednej linii, często przypisywanej zmiennej „x”. Problemy z ruchem pocisku obejmują zarówno x-, jak i wymiarami y, a grawitacja jest jedyną siłą zewnętrzną (zauważ, że problemy te są opisane jako występujące w świecie trójwymiarowym, np. „Kula armatnia jest zwolniony…”).

Zauważ, że masaminie wprowadza żadnych równań kinematycznych, ponieważ wpływ grawitacji na ruch obiektów jest niezależnie od ich masy, a wielkości takie jak pęd, bezwładność i energia nie są częścią żadnego równania ruch.

Ponieważ ruch obrotowy polega na badaniu torów kołowych (zarówno niejednorodnych, jak i jednorodnych kołowych) ruchu) zamiast używać metrów do opisania przemieszczenia obiektu, używasz radianów lub stopni zamiast.

Radian jest na powierzchni niezręczną jednostką, przekładającą się na 57,3 stopnia. Ale jedna podróż dookoła koła (360 stopni) jest definiowana jako radiany 2π, a z powodów, które zaraz zobaczysz, okazuje się to wygodne przy rozwiązywaniu problemów w niektórych przypadkach.

• Związekπ rad = 180 stopnimoże być używany do łatwej konwersji między obiema jednostkami miary.

Mogą wystąpić problemy, które obejmują liczbę obrotów na jednostkę czasu (rpm lub rps). Pamiętaj, że każdy obrót to 2π radiany lub 360 stopni.

Wszystkie pomiary kinematyki translacyjnej lub jednostki mają analogi obrotowe. Na przykład zamiast prędkości liniowej, która opisuje na przykład, jak daleko piłka toczy się po linii prostej w określonym przedziale czasu,rotacyjnylubprędkość kątowaopisuje szybkość obrotu tej kuli (o ile się obraca w radianach lub stopniach na sekundę).

Najważniejszą rzeczą, o której należy pamiętać, jest to, że każda jednostka translacyjna ma analogię obrotową. Nauka matematycznego i pojęciowego powiązania „partnerów” wymaga trochę praktyki, ale w większości jest to kwestia prostego zastąpienia.

Prędkość liniowavokreśla zarówno wielkość, jak i kierunek translacji cząstki; prędkość kątowaω(grecka litera omega) reprezentuje jego prędkość osobliwą, czyli szybkość, z jaką obiekt się obraca w radianach na sekundę. Podobnie tempo zmianω, przyspieszenie kątowe, wyrażone jest wzoremα(alfa) w rad/s².

Wartościωiαsą takie same dla każdego punktu na stałym obiekcie, niezależnie od tego, czy są mierzone 0,1 m od osi obrotu, czy 1000 metrów dalej, ponieważ zależy tylko od tego, jak szybki jest kątθzmiany, które mają znaczenie.

Istnieją jednak styczne (a więc liniowe) prędkości i przyspieszenia występujące w większości sytuacji, w których widoczne są wielkości obrotowe. Wielkości styczne są obliczane poprzez pomnożenie wielkości kątowych przezr, odległość od osi obrotu:v_t​ = ​riα​​_t​ = ​α​​r.​

Teraz, gdy analogie pomiarowe między ruchem obrotowym i liniowym zostały wyrównane przez wprowadzenie nowych terminów kątowych, można je wykorzystać do przepisania cztery klasyczne równania kinematyki translacyjnej w kategoriach kinematyki obrotowej, tylko z nieco innymi zmiennymi (litery w równaniach reprezentujące nieznane wielkie ilości).

W kinematyce obowiązują cztery podstawowe równania oraz cztery podstawowe zmienne: pozycja (x​, ​taklubθ), prędkość (vlubω), przyspieszenie (zalubα) i czast. To, które równanie wybierzesz, zależy od tego, które wielkości są nieznane na początku.

​- [wstawić tabelę równań kinematyki liniowej/translacyjnej wyrównanej z ich obrotowymi analogami]​

Na przykład powiedzmy, że powiedziano ci, że ramię maszyny przeszło przez przemieszczenie kątowe 3π/4 radianów z początkową prędkością kątowąω₀0 rad/s i końcową prędkość kątowąωπ rad/s. Jak długo trwał ten ruch?

Chociaż każde równanie translacyjne ma odpowiednik rotacyjny, odwrotność nie jest do końca prawdziwa z powodu przyspieszenia dośrodkowego, które jest konsekwencją prędkości stycznejv_ti wskazuje w kierunku osi obrotu. Nawet jeśli nie ma zmiany prędkości cząstki krążącej wokół środka masy, oznacza to przyspieszenie, ponieważ kierunek wektora prędkości zawsze się zmienia.

1. Cienki pręt, sklasyfikowany jako sztywny korpus o długości 3 m, obraca się wokół osi wokół jednego końca. Przyspiesza jednostajnie od spoczynku do 3π rad/s² przez okres 10 s.

a) Jaka jest średnia prędkość kątowa i przyspieszenie kątowe w tym czasie?

Podobnie jak w przypadku prędkości liniowej, po prostu podziel (ω₀+​ ​ω) o 2, aby uzyskać średnią prędkość kątową: (0 + 3π s^-1)/2 = ​1.5​​π​ ​s^-1​.

• Radiany są jednostką bezwymiarową, więc w równaniach kinematyki prędkość kątowa jest wyrażana jako s^-1.

Średnie przyspieszenie wyraża się wzoremω=ω₀+ αt, lubα= (3π s^-1/10 s) =0,3π s^-2​.

b) Ile pełnych obrotów wykonuje wędka?

Ponieważ średnia prędkość wynosi 1,5π s^-1 a pręt obraca się przez 10 sekund, porusza się w sumie 15 π radianów. Ponieważ jeden obrót to radiany 2π, oznacza to (15π/2π) = 7,5 obrotu (siedem pełnych obrotów) w tym problemie.

c) Jaka jest prędkość styczna końca pręta w czasie t = 10 s?

Odv_t​ = ​r, iωw chwili t = 10 to 3π s^-1, ​v_t= (3π s^-1)(3 m) =9πm/s.​

​jajest definiowany jako moment bezwładności (zwany takżedrugi moment obszaru) w ruchu obrotowym i jest analogiczna do masy dla celów obliczeniowych. Wydaje się zatem, gdzie w świecie ruchu liniowego pojawiłaby się masa, być może przede wszystkim przy obliczaniu momentu pęduL. To jest produktjai​ω​,i jest wektorem o takim samym kierunku jak​ω​.​

​ja = mr² dla cząstki punktowej, ale poza tym zależy to od kształtu obiektu wykonującego obrót, a także od osi obrotu. Zobacz Zasoby, aby uzyskać podręczną listę wartościjadla typowych kształtów.

Masa jest inna, ponieważ wielkość w kinematyce obrotowej, do której się odnosi, moment bezwładności, sam w sobiezawieramasa jako składnik.