Różniczkowanie niejawne to technika używana do wyznaczania pochodnej funkcji w postaci y = f (x).
Aby dowiedzieć się, jak korzystać z różnicowania niejawnego, możemy użyć metody na prostym przykładzie, a następnie zbadać bardziej złożone przypadki.
Ukryte zróżnicowanie to po prostu zróżnicowanie
Choć brzmi to bardziej skomplikowanie, niejawne różnicowanie wykorzystuje tę samą matematykę i umiejętności, co różnicowanie podstawowe. Należy jednak zauważyć, że nasza zmienna zależna pojawia się teraz w samej funkcji.
Weź proste równanie, takie jak xy = 1. Istnieją dwa sposoby na znalezienie pochodnej tak z szacunkiem do xlub dy/dx. Po pierwsze, możemy po prostu rozwiązać tak w równaniu i zastosuj regułę potęgową dla pochodnych. W ten sposób otrzymamy: y = 1/x. Zastosowanie zasady potęgi ujawniłoby zatem, że dy/dx = -1/x2.
Możemy również rozwiązać ten problem za pomocą niejawnego różnicowania. Na szczęście już znamy odpowiedź (powinna być taka sama bez względu na to, jak ją obliczymy), więc możemy sprawdzić naszą pracę!
Na początek zastosuj pochodną po obu stronach równania xy = 1. Następnie d/dx (xy) = d/dx (1); wyraźnie prawa strona jest teraz równa 0, ale lewa strona wymaga reguły łańcucha. Dzieje się tak, ponieważ bierzemy pochodną naszej funkcji, tak, podczas gdy jest mnożony przez inny czynnik x. Aby to obliczyć: d/dx (x) y + x (d/dx (y)) = y + xy'. Użyjemy notacji pierwszej, aby wskazać pochodną względem x.
Przepisanie naszego równania daje: y + xy' = 0. Czas rozwiązać ty w naszym równaniu! Oczywiście y' = -y/x. Ale używając oryginalnych informacji, wiemy, że y= 1/x, więc możemy to zastąpić z powrotem. Gdy to zrobimy, widzimy, że y' = -1/x2, tak jak znaleźliśmy wcześniej.
Ukryte zróżnicowanie w celu określenia pochodnej grzechu (xy)
Aby wyznaczyć pochodną y = sin (xy), użyjemy różniczkowania niejawnego, pamiętając, że (d/dx) y = y'.
Najpierw zastosuj pochodną po obu stronach równania: d/dx (y) = d/dx (sin (xy)). Lewa strona równania to wyraźnie ty, co będziemy musieli rozwiązać, ale prawa strona będzie wymagała trochę pracy; w szczególności reguła łańcucha i reguła produktu. Najpierw reguła łańcucha musi być zastosowana do sin (xy), a następnie reguła iloczynu dla argumentu xy. Na szczęście już obliczyliśmy tę regułę produktu.
Następnie upraszczając to otrzymujemy: y' = cos (xy)(y + xy').
Oczywiście to równanie wymaga rozwiązania ty w celu ustalenia, w jaki sposób ty odnosi się do x i tak.
Izoluj wszystkie terminy za pomocą ty z jednej strony: y' - xy'cos (xy) = ycos (xy).
Następnie uwzględnij ty otrzymać: y'(1 - xcos (xy)) = ycos (xy).
Teraz widzimy, że y' = ycos (xy)/(1-xcos (xy)).
Dalsze uproszczenie może być konieczne, ale ponieważ nasza funkcja jest zdefiniowana rekurencyjnie, wstawienie y = sin (xy) prawdopodobnie nie przyniesie zadowalającego rozwiązania. W takim przypadku przydatne może być więcej informacji lub bardziej wyrafinowana metoda wykreślania tych równań.
Ogólne kroki dla niejawnego różnicowania
Po pierwsze, pamiętaj, że niejawne różnicowanie polega na tym, że jedna ze zmiennych jest funkcją drugiej. Zwykle widzimy funkcje jako y = f (x), ale można by napisać funkcję x = f (y). Zachowaj ostrożność, podchodząc do tych problemów, aby określić, która zmienna jest zależna od drugiej.
Następnie pamiętaj o ostrożnym stosowaniu reguł pochodnych. Niejawne zróżnicowanie będzie bardzo często wymagać zasady łańcucha, a także zasady iloczynu i zasady ilorazu. Prawidłowe zastosowanie tych metod będzie niezbędne do ustalenia ostatecznej odpowiedzi.
Na koniec znajdź pożądaną pochodną, izolując ją i upraszczając wyrażenia tak bardzo, jak to możliwe.