Tenk deg at du står midt i en perfekt sirkulær arena. Du ser ut mot folkemengdene langs sidene av arenaen, og du ser din beste venn i ett sete og matskolelæreren din på ungdomsskolen et par seksjoner over. Hva er avstanden mellom dem og deg? Hvor langt må du gå for å reise fra vennens sete til lærersetet ditt? Hva er målene for vinklene mellom dere? Dette er alle spørsmål knyttet til sentrale vinkler.
EN sentral vinkel er vinkelen som dannes når to radier trekkes fra sentrum av sirkelen til kantene. I dette eksemplet er de to radiene dine to synslinjer fra deg, i sentrum av arenaen, til din venn, og din synslinje til læreren din. Vinkelen som dannes mellom disse to linjene er den sentrale vinkelen. Det er vinkelen nærmest sentrum av sirkelen.
Din venn og læreren din sitter langs omkrets eller kantene på sirkelen. Stien langs arenaen som forbinder dem er en bue.
Finn den sentrale vinkelen fra buelengde og omkrets
Det er et par ligninger du kan bruke for å finne den sentrale vinkelen. Noen ganger får du
buelengde, avstanden langs omkretsen mellom to punkter. (I eksemplet er dette avstanden du må gå rundt arenaen for å komme fra vennen din til læreren din.) Forholdet mellom sentral vinkel og buelengde er:(buelengde) ÷ omkrets = (sentral vinkel) ÷ 360 °
Den sentrale vinkelen vil være i grader.
Denne formelen er fornuftig hvis du tenker på det. Lengden på buen ut av den totale lengden rundt sirkelen (omkrets) er den samme proporsjonen som buens vinkel ut fra totalvinkelen i en sirkel (360 grader).
For å bruke denne ligningen effektivt, må du vite sirkelens omkrets. Men du kan også bruke denne formelen for å finne buelengden hvis du kjenner den sentrale vinkelen og omkretsen. Eller hvis du har buelengde og midtvinkel, kan du finne omkretsen!
Finn den sentrale vinkelen fra buelengden og radiusen
Du kan også bruke sirkelens radius og buelengden for å finne den sentrale vinkelen. Kall målet for den sentrale vinkelen θ. Deretter:
θ = s÷ r, hvor s er buelengden og r er radiusen. θ måles i radianer.
Igjen kan du omorganisere denne ligningen avhengig av informasjonen du har. Du kan finne lengden på buen fra radius og midtvinkel. Eller du kan finne radiusen hvis du har den sentrale vinkelen og buelengden.
Hvis du vil ha buelengden, ser ligningen slik ut:
s =θ * r, hvor s er buelengden, r er radiusen, og θ er den sentrale vinkelen i radianer.
The Central Angle Theorem
La oss legge til en vri på eksemplet ditt der du er på arenaen med naboen og læreren din. Nå er det en tredje person du kjenner på arenaen: naboen din. Og en ting til: De er bak deg. Du må snu for å se dem.
Din nabo er omtrent over arenaen fra vennen din og læreren din. Fra naboens synspunkt er det en vinkel dannet av synsfeltet til vennen og synsfeltet til læreren. Det kalles en innskrevet vinkel. An innskrevet vinkel er en vinkel dannet av tre punkter langs sirkelens omkrets.
The Central Angle Theorem forklarer forholdet mellom størrelsen på den sentrale vinkelen, dannet av deg, og den innskrevne vinkelen, dannet av din nabo. De Central Angle Theorem stater som den sentrale vinkelen er dobbelt så stor som den innskrevne vinkelen. (Dette forutsetter at du bruker de samme endepunktene. Du ser begge på læreren og vennen, ikke noen andre).
Her er en annen måte å skrive det på. La oss ringe til venns sete A, lærersetet B og naboens sete C. Du, i sentrum, kan være O.
Så, for tre punkter A, B og C langs omkretsen av en sirkel og punkt O i sentrum, er den sentrale vinkelen ∠AOC dobbelt den innskrevne vinkelen ∠ABC.
Det er, ∠AOC = 2∠ABC.
Dette gir litt mening. Du er nærmere vennen og læreren, så for deg ser de lenger fra hverandre (en større vinkel). For naboen din på den andre siden av stadion ser de mye nærmere hverandre (en mindre vinkel).
Unntak fra Central Angle Theorem
La oss skifte ting opp. Naboen på andre siden av arenaen begynner å bevege seg! De har fortsatt synsfelt til vennen og læreren, men linjene og vinklene fortsetter å skifte når naboen beveger seg. Gjett hva: Så lenge naboen holder seg utenfor lysbuen mellom vennen og naboen, holder Central Angle Theorem fortsatt sant!
Men hva skjer når naboen flytter mellom vennen og læreren? Nå er naboen din inne i mindre lysbue, den relativt lille avstanden mellom vennen og læreren sammenlignet med den større avstanden rundt resten av arenaen. Da når du et unntak fra Central Angle Theorem.
De unntak fra Central Angle Theorem sier at når punkt C, naboen, er inne i den mindre buen, er den innskrevne vinkelen supplement til halvparten av den sentrale vinkelen. (Husk at en vinkel og dens supplement legg til 180 grader.)
Så: innskrevet vinkel = 180 - (sentral vinkel ÷ 2)
Eller: ∠ABC = 180 - (∠AOC ÷ 2)
Visualiser
Math Open Reference har et verktøy for å visualisere Central Angle Theorem og dets unntak. Du får dra "naboen" til alle forskjellige deler av sirkelen og se vinklene endres. Prøv det hvis du vil ha en visuell eller ekstra øvelse!