Noen ganger er "eksponentiell vekst" bare en tale, en referanse til alt som vokser urimelig eller utrolig raskt. Men i visse tilfeller kan du ta ideen om eksponentiell vekst bokstavelig. For eksempel kan en populasjon av kaniner vokse eksponentielt når hver generasjon sprer seg, deretter spres deres avkom, og så videre. Forretnings- eller personlig inntekt kan også vokse eksponentielt. Når du blir bedt om å gjøre virkelige beregninger av eksponentiell vekst, jobber du med tre opplysninger: Startverdi, vekstrate (eller forfall) og tid.
TL; DR (for lang; Leste ikke)
TL; DR (for lang; Leste ikke)
For å beregne eksponentiell vekst, bruk formelen y(t) = a__ekt, hvor en er verdien i starten, k er vekstraten eller forfallet, t er tid og y(t) er befolkningens verdi på tiden t.
Tenk deg at en forsker studerer veksten av en ny bakterieart. Mens han kunne legge inn verdiene til startmengde, veksthastighet og tid i en befolkningsvekstkalkulator, bestemte han seg for å beregne bakteriepopulasjonens vekstrate manuelt.
Når han ser tilbake på sine grundige poster, ser forskeren at hans startpopulasjon var 50 bakterier. Fem timer senere målte han 550 bakterier.
Å legge forskerens informasjon inn i ligningen for eksponentiell vekst eller forfall, y(t) = a__ekt, han har:
550 = 50_ek_5
Det eneste ukjente igjen i ligningen er k, eller eksponentiell vekst.
Å begynne å løse for kdel først begge sider av ligningen med 50. Dette gir deg:
550/50 = (50_ek_5) / 50, som forenkler å:
11 = e_k_5
Ta deretter den naturlige logaritmen fra begge sider, som er notert som ln (x). Dette gir deg:
ln (11) = ln (e_k_5)
Den naturlige logaritmen er den omvendte funksjonen til ex, slik at den effektivt "angrer" den ex funksjon på høyre side av ligningen, slik at du får:
ln (11) = _k_5
Del deretter begge sider med 5 for å isolere variabelen, som gir deg:
k = ln (11) / 5
Du vet nå frekvensen av eksponentiell vekst for denne populasjonen av bakterier: k = ln (11) / 5. Hvis du skal gjøre ytterligere beregninger med denne populasjonen - for eksempel å koble veksthastigheten til ligningen og estimere populasjonsstørrelsen på t = 10 timer - det er best å legge igjen svaret i dette skjemaet. Men hvis du ikke utfører flere beregninger, kan du legge inn denne verdien i en eksponentiell funksjons kalkulator - eller din vitenskapelige kalkulator - for å få en estimert verdi på 0,479579. Avhengig av de nøyaktige parametrene for eksperimentet ditt, kan du runde det til 0,48 / time for enkel beregning eller notasjon.
Tips
Hvis vekstraten din skulle være mindre enn 1, forteller den deg at befolkningen krymper. Dette er kjent som forfallshastigheten eller eksponentiell forfall.