Hvordan løse en kvadratisk rotligning

Kvadratroten til et tall er en verdi som, når den multipliseres med seg selv, gir det opprinnelige tallet. For eksempel er kvadratroten på 0 0, kvadratroten på 100 er 10 og kvadratroten på 50 er 7,071. Noen ganger kan du finne ut, eller bare huske, kvadratroten til et tall som i seg selv er et "perfekt kvadrat", som er produktet av et helt tall multiplisert med seg selv; når du går gjennom studiene, vil du sannsynligvis utvikle en mental liste over disse tallene (1, 4, 9, 25, 36.. .).

Problemer med kvadratrøtter er uunnværlige innen ingeniørfag, kalkulasjon og praktisk talt alle riker i den moderne verden. Selv om du enkelt kan finne kalkulatorer for kvadratrotligning online (se Ressurser for et eksempel), er det viktig å løse kvadratrotligninger. dyktighet innen algebra, fordi det lar deg bli kjent med bruk av radikaler og jobbe med en rekke problemtyper utenfor firkantrøttene per se.

Det faktum at å multiplisere to negative tall sammen gir et positivt tall er viktig i verden av kvadratrøtter fordi det antyder at positive tall faktisk har to kvadratrøtter (for eksempel kvadratrøttene til 16 er 4 og −4, selv om bare førstnevnte er intuitiv). Tilsvarende har negative tall ikke ekte kvadratrøtter, fordi det ikke er noe reelt tall som får en negativ verdi når den multipliseres med seg selv. I denne presentasjonen vil den negative kvadratroten til et positivt tall bli ignorert, slik at "kvadratrot av 361" kan tas som "19" i stedet for "−19 og 19."

Når du prøver å estimere verdien av en kvadratrot når ingen kalkulator er praktisk, er det også viktig å innse at funksjoner som involverer kvadrater og kvadratrøtter ikke er lineære. Du vil se mer om dette i seksjonen om grafer senere, men som et grovt eksempel har du allerede observert at kvadratroten på 100 er 10 og kvadratroten på 0 er 0. På sikt kan dette føre til at du antar at kvadratroten for 50 (som er halvveis mellom 0 og 100) må være 5 (som er halvveis mellom 0 og 10). Men du har også allerede lært at kvadratroten på 50 er 7.071.

Til slutt har du kanskje internalisert ideen om at å multiplisere to tall sammen gir et tall større enn seg selv, og antyder at kvadratrøtter av tall alltid er mindre enn originalen Nummer. Det er ikke slik det er! Tall mellom 0 og 1 har også kvadratrøtter, og i alle tilfeller er kvadratroten større enn det opprinnelige tallet. Dette vises enklest ved bruk av brøker. For eksempel har 16/25, eller 0,64, en perfekt firkant i både teller og nevner. Dette betyr at kvadratroten til brøkdelen er kvadratroten til topp- og bunnkomponentene, som er 4/5. Dette er lik 0,80, et større antall enn 0,64.

"Kvadratroten tilx"skrives vanligvis ved hjelp av det som kalles et radikalt tegn, eller bare et radikalt (√). Dermed for allex​:

representerer kvadratroten. Snu dette rundt, firkanten av et tallxer skrevet med en eksponent på 2 (x​²). Eksponenter tar overskrift på tekstbehandling og relaterte applikasjoner, og kalles også krefter. Fordi radikale tegn ikke alltid er enkle å produsere på forespørsel, en annen måte å skrive "kvadratroten tilx"er å bruke en eksponent:

Dette er igjen en del av en generell ordning:

betyr "hevextil kraften tily, så ta 'z"roten til det."x​^1/2 betyr dermed "hevextil den første makten, som er ganske enkeltxigjen, og ta deretter den to roten av den, eller kvadratroten. "Utvide dette,x​^(5/3) betyr "hevextil kraften 5, og finn deretter den tredje roten (eller kubaroten) av resultatet. "

Radikaler kan brukes til å representere andre røtter enn kvadratroten. Dette gjøres ved ganske enkelt å legge til et overskrift øverst til venstre for radikalen.

representerer deretter det samme tallet somx​^(5/3) fra forrige avsnitt gjør.

De fleste kvadratrøtter er irrasjonelle tall. Dette betyr at de ikke bare er fine, pene heltal (f.eks. 1, 2, 3, 4.. .), men de kan heller ikke uttrykkes som et pent desimaltall som slutter uten å måtte avrundes. Et rasjonelt tall kan uttrykkes som en brøkdel. Så selv om 2,75 ikke er et helt tall, er det et rasjonelt tall fordi det er det samme som brøkdelen 11/4. Du ble fortalt tidligere at kvadratroten på 50 er 7,071, men dette er faktisk avrundet fra et uendelig antall desimaler. Den nøyaktige verdien av √50 er 5√2, og du vil se hvordan dette blir bestemt snart.

Du har allerede sett at ligninger i å involvere kvadrater og kvadratrøtter er ikke-lineære. En enkel måte å huske på dette er at grafene over løsningene til disse ligningene ikke er linjer. Dette er fornuftig, for hvis kvadratet på 0 er som nevnt 0 og kvadratet på 10 er 100, men kvadratet av 5 er ikke 50, må grafen som resulterer fra å bare kvadre et tall kurve seg til riktig verdier.

Dette er tilfelle med grafen til

som du selv kan se ved å gå til kalkulatoren i Ressursene og endre parametrene. Linjen går gjennom punktet (0,0), og y går ikke under 0, noe du kan forvente fordi du vet detx​² er aldri negativt. Du kan også se at grafen er symmetrisk rundty-aksi, som også gir mening fordi hver positive kvadratrot av et gitt tall er ledsaget av en negativ kvadratrot av samme størrelse. Derfor, med unntak av 0, hveryverdi på grafen tily​ = ​x​² er assosiert med tox-verdier.

En måte å håndtere grunnleggende kvadratrotproblemer for hånd er å se etter perfekte firkanter "skjult" inne i problemet. For det første er det viktig å være klar over noen viktige egenskaper til firkanter og kvadratrøtter. En av disse er at, akkurat som √x​² er rett og slett likx(fordi den radikale og eksponenten avbryter hverandre):

Det vil si at hvis du har et perfekt kvadrat under en radikal som multipliserer et annet tall, kan du "trekke det ut" og bruke det som en koeffisient av det som gjenstår. For eksempel å returnere til kvadratroten på 50

Noen ganger kan du avvikle med et tall som involverer kvadratrøtter som uttrykkes som en brøkdel, men fortsatt er et irrasjonelt tall fordi nevneren, telleren eller begge inneholder en radikal. I slike tilfeller kan du bli bedt om å rasjonalisere nevneren. For eksempel tallet

har en radikal i både teller og nevner. Men etter å ha gransket "45", kan du gjenkjenne det som produktet i 9 og 5, noe som betyr at

Derfor kan brøken skrives

Radikalene avbryter hverandre, og du sitter igjen med 6/3 = 2.