Røttene til et polynom kalles også dets nuller, fordi røttene erxverdier der funksjonen er lik null. Når det gjelder å faktisk finne røttene, har du flere teknikker til din disposisjon; factoring er metoden du bruker hyppigst, selv om grafer også kan være nyttige.
Hvor mange røtter?
Undersøk polynomets høyeste grad - det vil si begrepet med høyest eksponent. Den eksponenten er hvor mange røtter polynomiet vil ha. Så hvis den høyeste eksponenten i ditt polynom er 2, vil den ha to røtter; hvis den høyeste eksponenten er 3, vil den ha tre røtter; og så videre.
Advarsler
-
Det er en fangst: Rødder av et polynom kan være ekte eller innbilt. "Ekte" røtter er medlemmer av settet kjent som reelle tall, som på dette punktet i matematikkarrieren er hvert tall du er vant til å håndtere. Å mestre imaginære tall er et helt annet tema, så husk foreløpig tre ting:
- "Imaginære" røtter dukker opp når du har kvadratroten av et negativt tall. For eksempel √ (-9).
- Imaginære røtter kommer alltid parvis.
- Røttene til et polynom kan være ekte eller innbilt. Så hvis du har et polynom av 5. grad, kan det ha fem virkelige røtter, det kan ha tre virkelige røtter og to imaginære røtter, og så videre.
Finn røtter etter faktorering: Eksempel 1
Den mest allsidige måten å finne røtter på er å faktorisere polynomet ditt så mye som mulig, og deretter sette hver periode lik null. Dette gir mye mer mening når du har fulgt noen eksempler. Tenk på det enkle polynometx2 – 4x:
En kort undersøkelse viser at du kan faktorerexut av begge vilkårene i polynomet, som gir deg:
x (x - 4)
Sett hver periode til null. Det betyr å løse to ligninger:
x = 0
er den første termen satt til null, og
x - 4 = 0
er det andre begrepet satt til null.
Du har allerede løsningen på første periode. Hvisx= 0, så er hele uttrykket lik null. Såx= 0 er en av røttene, eller nullene, til polynomet.
Nå bør du vurdere andre periode og løse forx. Hvis du legger til 4 på begge sider, har du:
x - 4 + 4 = 0 + 4
som forenkler å:
x = 4
Så hvisx= 4, så er den andre faktoren lik null, noe som betyr at hele polynomet også er lik null.
Fordi det opprinnelige polynomet var av andre grad (den høyeste eksponenten var to), vet du at det bare er to mulige røtter for dette polynomet. Du har allerede funnet dem begge, så alt du trenger å gjøre er å liste dem:
x = 0, x = 4
Finn røtter etter faktorering: Eksempel 2
Her er et eksempel på hvordan du kan finne røtter ved å faktorisere, bruke litt fancy algebra underveis. Tenk på polynometx4 – 16. En rask titt på eksponentene viser at det bør være fire røtter for dette polynomet; nå er det på tide å finne dem.
Har du lagt merke til at dette polynomet kan skrives om som forskjellen på firkanter? Så i stedet forx4 - 16, du har:
(x ^ 2) ^ 2-4 ^ 2
Som, ved hjelp av formelen for forskjellen i kvadrater, påvirker følgende:
(x ^ 2-4) (x ^ 2 + 4)
Den første perioden er igjen en forskjell i firkanter. Så selv om du ikke kan faktorisere begrepet til høyre lenger, kan du faktorere begrepet til venstre et skritt til:
(x - 2) (x + 2) (x ^ 2 + 4)
Nå er det på tide å finne nuller. Det blir raskt klart at hvisx= 2, vil den første faktoren være lik null, og dermed vil hele uttrykket være lik null.
Tilsvarende, hvisx= −2, vil den andre faktoren være lik null og dermed vil hele uttrykket bli det.
Såx= 2 ogx= −2 er begge nuller, eller røtter, til dette polynomet.
Men hva med den siste perioden? Fordi den har en "2" eksponent, bør den ha to røtter. Men du kan ikke faktorisere dette uttrykket ved å bruke de reelle tallene du er vant til. Du må bruke et veldig avansert matematisk konsept kalt imaginære tall eller, hvis du foretrekker det, komplekse tall. Det er langt utenfor omfanget av din nåværende matematikkpraksis, så foreløpig er det nok å merke seg at du har to virkelige røtter (2 og −2), og to imaginære røtter som du vil la være udefinert.
Finn røtter etter tegning
Du kan også finne, eller i det minste estimere, røtter ved å tegne graf. Hver rot representerer et sted der grafen til funksjonen krysserxakser. Så hvis du tegner linjen og notererxkoordinater der linjen krysserxakse, kan du sette inn estimertxverdiene til disse punktene i ligningen din og sjekk om du har fått dem riktige.
Tenk på det første eksemplet du jobbet, for polynometx2 – 4x. Hvis du trekker den forsiktig ut, vil du se at linjen krysser linjenxakse vedx= 0 ogx= 4. Hvis du legger inn hver av disse verdiene i den opprinnelige ligningen, får du:
0^2 - 4(0) = 0
såx= 0 var et gyldig null eller rot for dette polynomet.
4^2 - 4(4) = 0
såx= 4 er også et gyldig null eller rot for dette polynomet. Og fordi polynomet var av grad 2, vet du at du kan slutte å se etter å finne to røtter.