Forskjellen mellom klassisk mekanikk og kvantemekanikk er stor. Mens partikler og objekter i klassisk mekanikk har klart definerte posisjoner, i kvantemekanikk (før en måling) a partikkel kan bare sies å ha en rekke mulige posisjoner, som er beskrevet i form av sannsynligheter av bølgen funksjon.
Schrodinger-ligningen definerer bølgefunksjonen til kvantemekaniske systemer, og å lære å bruke og tolke den er en viktig del av ethvert kurs i kvantemekanikk. Et av de enkleste eksemplene på en løsning på denne ligningen er for en partikkel i en boks.
Bølgefunksjonen
I kvantemekanikk er en partikkel representert med abølgefunksjon. Dette er vanligvis betegnet med den greske bokstaven psi (Ψ) og det avhenger av både posisjon og tid, og den inneholder alt som kan være kjent om partikkelen.
Modulen til denne funksjonen i kvadrat forteller deg sannsynligheten for at partikkelen vil bli funnet i posisjonxpå tidspunktett, forutsatt at funksjonen er "normalisert." Dette betyr bare justert slik at det er sikkert å bli funnet på
noenposisjonxpå den tidentnår resultatene på hvert sted summeres, dvs. normaliseringstilstanden sier at:\ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ vertΨ \ vert ^ 2 = 1
Du kan bruke bølgefunksjonen til å beregne forventningsverdien for posisjonen til en partikkel på tidspunktett, der forventningsverdien bare betyr gjennomsnittsverdien du vil få forxhvis du gjentok målingen et stort antall ganger. Dette betyr selvfølgelig ikke at det vil være resultatet du får for en gitt måling - altsåeffektivttilfeldig, selv om noen steder vanligvis er vesentlig mer sannsynlige enn andre.
Det er mange andre størrelser du kan beregne forventningsverdier for, for eksempel momentum og energiverdier, så vel som mange andre "observerbare".
Schrodinger ligning
Schrodinger-ligningen er en differensialligning som brukes til å finne verdien for bølgefunksjonen og egenstatene for energien til partikkelen. Ligningen kan være avledet fra bevaring av energi og uttrykk for den kinetiske og potensielle energien til en partikkel. Den enkleste måten å skrive den på er:
H (Ψ) = iℏ \ frac {\ partialΨ} {\ partial t}
Men herHrepresentererHamilton-operatør, som i seg selv er et ganske langt uttrykk:
H = \ frac {−ℏ} {2m} \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial x ^ 2} + V (x)
Her,mer massen, ℏ er Plancks konstant delt på 2π, ogV (x) er en generell funksjon for potensiell energi i systemet. Hamilton har to forskjellige deler - det første begrepet er systemets kinetiske energi og det andre begrepet er den potensielle energien.
Hver observerbare verdi i kvantemekanikk er knyttet til en operatør, og i den tidsuavhengige versjonen av Schrodinger-ligningen er Hamiltonian energioperatør. Imidlertid, i den tidsavhengige versjonen vist ovenfor, genererer Hamiltonian også tidsutviklingen til bølgefunksjonen.
Ved å kombinere all informasjonen i ligningen, kan du beskrive utviklingen av partikkelen i rom og tid og forutsi mulige energiværdier for den også.
Den tidsuavhengige Schrodinger-ligningen
Den tidsavhengige delen av ligningen kan fjernes - for å beskrive en situasjon som ikke spesielt utvikler seg med tiden - ved å skille bølgefunksjonen i rom- og tidsdeler:Ψ(x, t) = Ψ(x) f(t). De tidsavhengige delene kan deretter kanselleres ut av ligningen, som etterlater den tidsuavhengige versjonen av Schrodinger-ligningen:
H Ψ (x) = E (Ψ (x))
Eer energien i systemet. Dette har den eksakte formen av en egenverdiligning, medΨ(x) som egenfunksjon, ogEå være egenverdien, og derfor kalles den tidsuavhengige ligningen ofte egenverdiligningen for energien til et kvantemekanisk system. Tidsfunksjonen er ganske enkelt gitt av:
f (t) = e ^ {- iEt / ℏ}
Den tidsuavhengige ligningen er nyttig fordi den forenkler beregningene for mange situasjoner der tidsutvikling ikke er spesielt viktig. Dette er den mest nyttige formen for "partikkel i en boks" -problemer og til og med for å bestemme energinivået for elektroner rundt et atom.
Partikkel i en eske (Infinite Square Well)
En av de enkleste løsningene til den tidsuavhengige Schrodinger-ligningen er for en partikkel i en uendelig dyp firkantet brønn (dvs. en uendelig potensiell brønn), eller en endimensjonal boks med base lengdeL. Selvfølgelig er dette teoretiske idealiseringer, men det gir en grunnleggende ide om hvordan du løser Schrodinger-ligningen uten å ta hensyn til mange av komplikasjonene som finnes i naturen.
Med den potensielle energien satt til 0 utenfor brønnen der sannsynlighetstettheten også er 0, blir Schrodinger-ligningen for denne situasjonen:
\ frac {−ℏ ^ 2} {2m} \ frac {d ^ 2Ψ (x)} {dx ^ 2} = E Ψ (x)
Og den generelle løsningen for en ligning av dette skjemaet er:
Ψ (x) = A \ sin (kx) + B \ cos (kx)
Å se på grenseforholdene kan imidlertid bidra til å begrense dette. Tilx= 0 ogx= L, dvs. sidene på boksen eller veggene i brønnen, bølgefunksjonen må gå til null. Kosinusfunksjonen har verdien 1 når argumentet er 0, så for at grensebetingelsene skal oppfylles, konstantenBmå være lik null. Dette etterlater:
Ψ (x) = A \ sin (kx)
Du kan også bruke grensebetingelsene til å angi en verdi fork. Siden syndefunksjonen går til null ved verdiernπ, hvor kvantetalln= 0, 1, 2, 3... og så videre, dette betyr nårx = Lvil ligningen bare fungere hvisk = nπ / L. Til slutt kan du bruke det faktum at bølgefunksjonen må normaliseres for å finne verdien avEN(integrer på tvers av alle muligexverdier, dvs. fra 0 tilL, og sett deretter resultatet lik 1 og ordne det på nytt), for å komme til det endelige uttrykket:
Ψ (x) = \ sqrt {\ frac {2} {L}} \ sin \ bigg (\ frac {nπ} {L} x \ bigg)
Ved å bruke den opprinnelige ligningen og dette resultatet, kan du løse det forE, som gir:
E = \ frac {n ^ 2ℎ ^ 2} {8 ml ^ 2}
Merk at det faktum atner i dette uttrykket betyr at energinivåene erkvantisert, slik at de ikke kan tanoenverdi, men bare et diskret sett med spesifikke energinivåverdier avhengig av massen av partikkelen og lengden på boksen.
Partikkel i en eske (Finite Square Well)
Det samme problemet blir litt mer komplisert hvis den potensielle brønnen har en endelig vegghøyde. For eksempel hvis potensialetV (x) tar verdienV0 utenfor den potensielle brønnen og 0 inni den, kan bølgefunksjonen bestemmes i de tre hovedregionene som dekkes av problemet. Dette er imidlertid en mer involvert prosess, så her vil du bare kunne se resultatene i stedet for å løpe gjennom hele prosessen.
Hvis brønnen er påx= 0 tilx = Ligjen, for regionen derx<0 løsningen er:
Ψ (x) = Vær ^ {kx}
For regionenx > L, Det er:
Ψ (x) = Ae ^ {- kx}
Hvor
k = \ sqrt {\ frac {2me} {ℏ ^ 2}}
For regionen inne i brønnen, der 0 <x < L, er den generelle løsningen:
Ψ (x) = C \ sin (wx) + D \ cos (wx)
Hvor
w = \ sqrt {\ frac {-2m (E + V_0)} {ℏ ^ 2}}
Du kan deretter bruke grensebetingelsene til å bestemme verdiene til konstanteneEN, B, CogDog bemerker at i tillegg til å ha definerte verdier ved veggene i brønnen, må bølgefunksjonen og dens første derivat være kontinuerlig overalt, og bølgefunksjonen må være endelig overalt.
I andre tilfeller, som grunne bokser, smale bokser og mange andre spesifikke situasjoner, er det tilnærminger og forskjellige løsninger du kan finne.