Schrodinger-ligningen er den mest grunnleggende ligningen i kvantemekanikken, og det er viktig for enhver spirende fysiker å lære å bruke den og hva den betyr. Ligningen er oppkalt etter Erwin Schrödinger, som vant Nobelprisen sammen med Paul Dirac i 1933 for deres bidrag til kvantefysikk.
Schrodingers ligning beskriver bølgefunksjonen til et kvantemekanisk system, som gir sannsynlig informasjon om plasseringen av en partikkel og andre observerbare størrelser som dens momentum. Det viktigste du vil innse om kvantemekanikk etter å ha lært om ligningen er at lovene i kvanteområdet erveldig annerledesfra klassisk mekanikk.
Bølgefunksjonen
Bølgefunksjonen er et av de viktigste begrepene i kvantemekanikken, fordi hver partikkel er representert av en bølgefunksjon. Det er vanligvis gitt den greske bokstaven psi (Ψ), og det avhenger av posisjon og tid. Når du har et uttrykk for bølgefunksjonen til en partikkel, forteller den deg alt som kan være kjent om det fysiske systemet, og forskjellige verdier for observerbare størrelser kan oppnås ved å bruke en operatør til den.
Firkanten av bølgefunksjonens modul forteller deg sannsynligheten for å finne partikkelen i en posisjonxpå et gitt tidspunktt. Dette er bare tilfelle hvis funksjonen er "normalisert", som betyr at summen av kvadratmodulen over alle mulige steder må være lik 1, dvs. at partikkelen ersikkerå bli lokalisertet sted.
Merk at bølgefunksjonen bare gir sannsynlig informasjon, og slik at du ikke kan forutsi resultatet av en observasjon, selv om dukanbestemme gjennomsnittet over mange målinger.
Du kan bruke bølgefunksjonen til å beregne“Forventningsverdi”for posisjonen til partikkelen på tidspunktett, med forventningsverdien som gjennomsnittsverdien påxdu ville oppnådd hvis du gjentok målingen mange ganger.
Igjen, dette forteller deg ingenting om en bestemt måling. Faktisk er bølgefunksjonen mer en sannsynlighetsfordeling for en enkelt partikkel enn noe konkret og pålitelig. Ved å bruke riktig operatør kan du også oppnå forventningsverdier for momentum, energi og andre observerbare størrelser.
Schrodinger-ligningen
Schrodinger-ligningen er lineær delvis differensialligning som beskriver utviklingen av a kvantetilstand på en lignende måte som Newtons lover (spesielt den andre loven) i klassisk mekanikk.
Schrodinger-ligningen er imidlertid en bølgeligning for bølgefunksjonen til den aktuelle partikkelen, og slik er bruken av ligningen for å forutsi den fremtidige tilstanden av et system kalles noen ganger “bølgemekanikk”. Ligningen i seg selv kommer fra bevaring av energi og er bygget rundt en operatør kalt Hamiltonian.
Den enkleste formen for Schrodinger-ligningen å skrive ned er:
H Ψ = iℏ \ frac {\ partialΨ} {\ partial t}
Hvor ℏ er redusert Plancks konstant (dvs. konstanten delt på 2π) ogHer den Hamilton-operatøren, som tilsvarer summen av potensiell energi og kinetisk energi (total energi) i kvantesystemet. Hamiltonian er imidlertid et ganske langt uttrykk, så hele ligningen kan skrives som:
- \ frac {ℏ ^ 2} {2m} \ frac {\ partial ^ 2 Ψ} {\ partial x ^ 2} + V (x) Ψ == iℏ \ frac {\ partialΨ} {\ partial t}
Legg merke til at den første delderivatet noen ganger (for eksplisitt tredimensjonale problemer) skrives som den laplaciske operatøren ∇2. I hovedsak virker Hamiltonian på bølgefunksjonen for å beskrive evolusjonen i rom og tid. Men i den tidsuavhengige versjonen av ligningen (dvs. når systemet ikke er avhengig avt), gir Hamiltonian energien i systemet.
Å løse Schrodinger-ligningen betyr å finnekvantemekanisk bølgefunksjonsom tilfredsstiller det for en bestemt situasjon.
Den tidsavhengige Schrodinger-ligningen
Den tidsavhengige Schrodinger-ligningen er versjonen fra forrige avsnitt, og den beskriver utviklingen av bølgefunksjonen for en partikkel i tid og rom. En enkel sak å vurdere er en fri partikkel fordi den potensielle energienV= 0, og løsningen har form av en plan bølge. Disse løsningene har form:
Ψ = Ae ^ {kx −ωt}
Hvork = 2π / λ, λer bølgelengden, ogω = E / ℏ.
For andre situasjoner beskriver den potensielle energidelen av den opprinnelige ligningen grenseforhold for romlig del av bølgefunksjonen, og den skilles ofte i en tidsutviklingsfunksjon og en tidsuavhengig ligning.
Den tidsuavhengige Schrodinger-ligningen
For statiske situasjoner eller løsninger som danner stående bølger (som potensielle brønner, "partikkel i en boks" -stil-løsninger), kan du skille bølgefunksjonen i tids- og romdeler:
Ψ (x, t) = Ψ (x) f (t)
Når du går gjennom dette i sin helhet, kan tidsdelen avbrytes, og etterlate en form for Schrodinger-ligningen somkunavhenger av partikkelens posisjon. Den tidsuavhengige bølgefunksjonen blir da gitt av:
H Ψ (x) = E Ψ (x)
HerEer energien til det kvantemekaniske systemet, ogHer den Hamilton-operatøren. Denne formen på ligningen tar den eksakte formen av en egenverdiligning, med bølgefunksjonen være egenfunksjonen, og energien er egenverdien når den Hamilton-operatøren brukes til det. Ved å utvide Hamiltonian til en mer eksplisitt form, kan den skrives i sin helhet som:
- \ frac {ℏ ^ 2} {2m} \ frac {\ partial ^ 2 Ψ} {\ partial x ^ 2} + V (x) Ψ = E Ψ (x)
Tidsdelen av ligningen er inneholdt i funksjonen:
f (t) = e ^ {\ frac {iEt} {ℏ}}
Løsninger på den tidsuavhengige Schrodinger-ligningen
Den tidsuavhengige Schrodinger-ligningen egner seg godt til ganske enkle løsninger fordi den trimmer ned hele formen på ligningen. Et perfekt eksempel på dette er gruppen "partikkel i en boks" med løsninger der partikkelen antas å være i et uendelig kvadratpotensial i en dimensjon, så det er null potensial (dvs.V= 0) gjennomgående, og det er ingen sjanse for at partikkelen blir funnet utenfor brønnen.
Det er også en endelig firkantet brønn, der potensialet ved "veggene" i brønnen ikke er uendelig, og selv om det er høyere enn partikkelens energi, er detnoenmulighet for å finne partikkelen utenfor den på grunn av kvantetunnel. For det uendelige potensialet, har løsningene form:
Ψ (x) = \ sqrt {\ frac {2} {L}} \ sin \ bigg (\ frac {nπ} {L} x \ bigg)
HvorLer brønnens lengde.
Et delta-funksjonspotensial er et veldig lik konsept til potensialbrønnen, bortsett fra med breddenLgår til null (dvs. er uendelig liten rundt et enkelt punkt) og dybden av brønnen går til uendelig, mens produktet av de to (U0) forblir konstant. I denne veldig idealiserte situasjonen er det bare en bundet tilstand gitt av:
Ψ (x) = \ frac {\ sqrt {mU_0}} {ℏ} e ^ {- \ frac {mU_0} {ℏ ^ 2} \ vert x \ vert}
Med energi:
E = - \ frac {mU_0 ^ 2} {2ℏ ^ 2}
Hydrogen Atom Solution til Schrodinger-ligningen
Til slutt har hydrogenatomløsningen åpenbare anvendelser for fysikk i den virkelige verden, men i praksis situasjonen for et elektron rundt kjernen til et hydrogenatom kan sees på som ganske lik den potensielle brønnen problemer. Situasjonen er imidlertid tredimensjonal og beskrives best i sfæriske koordinaterr, θ, ϕ. Løsningen i dette tilfellet er gitt av:
Ψ (x) = NR_ {n, l} (r) P ^ m_ {l} (\ cos θ) e ^ {imϕ}
HvorPer Legendre-polynomene,Rer spesifikke radiale løsninger, ogNer en konstant du fikser ved å bruke det faktum at bølgefunksjonen skal normaliseres. Ligningen gir energinivå gitt av:
E = - \ frac {\ mu Z ^ 2e ^ 4} {8ϵ_0h ^ 2n ^ 2}
HvorZher er atomnummeret (såZ= 1 for et hydrogenatom),ei dette tilfellet er ladningen til et elektron (i stedet for konstantene = 2.7182818...), ϵ0 er permittiviteten til ledig plass, ogμer den reduserte massen, som er basert på massene av proton og elektron i et hydrogenatom. Dette uttrykket er bra for ethvert hydrogenlignende atom, som betyr enhver situasjon (inkludert ioner) der det er ett elektron som kretser rundt en sentral kjerne.