Å løse mysteriene ved elektromagnetisme har vært en av de største prestasjonene innen fysikk hittil, og lærdommen er fullstendig innkapslet i Maxwells ligninger.
James Clerk Maxwell gir navn til disse fire elegante ligningene, men de er kulminasjonen på flere tiårs arbeid fra mange fysikere, inkludert Michael Faraday, Andre-Marie Ampere og Carl Friedrich Gauss - som gir navn til tre av de fire ligningene - og mange andre. Mens Maxwell bare bare la til et begrep i en av de fire ligningene, hadde han framsyn og forståelse samle det aller beste av arbeidet som har blitt gjort om emnet og presentere dem på en måte som fremdeles brukes av fysikere i dag.
I mange, mange år trodde fysikere at elektrisitet og magnetisme var separate krefter og forskjellige fenomener. Men gjennom det eksperimentelle arbeidet til mennesker som Faraday ble det stadig tydeligere at de faktisk var to sider av samme fenomen, og Maxwells ligninger presenterer dette enhetlige bildet som fremdeles er like gyldig i dag som det var på det 19. århundre. Hvis du skal studere fysikk på høyere nivåer, trenger du absolutt å vite Maxwells ligninger og hvordan du bruker dem.
Maxwells ligninger
Maxwells ligninger er som følger, både i differensialform og integralform. (Merk at mens kunnskap om differensiallikninger er nyttig her, er en konseptuell forståelse mulig selv uten den.)
Gauss ’lov for elektrisitet
Differensiell form:
\ bm {∇ ∙ E} = \ frac {ρ} {ε_0}
Integrert form:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {A} = \ frac {q} {ε_0}
Ingen monopol lov / Gauss ’lov for magnetisme
Differensiell form:
\ bm {∇ ∙ B} = 0
Integrert form:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {A} = 0
Faradays induksjonslov
Differensiell form:
\ bm {∇ × E} = - \ frac {∂ \ bm {B}} {∂t}
Integrert form:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {s} = - \ frac {∂ \ phi_B} {∂t}
Ampere-Maxwell Law / Ampere’s Law
Differensiell form:
\ bm {∇ × B} = \ frac {J} {ε_0 c ^ 2} + \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {∂E} {∂t}
Integrert form:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {s} = μ_0 I + \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {∂} {∂t} \ int \ bm {E ∙} d \ bm {A }
Symboler brukt i Maxwells ligninger
Maxwells ligninger bruker et ganske stort utvalg av symboler, og det er viktig at du forstår hva disse betyr hvis du skal lære å bruke dem. Så her er en oversikt over betydningen av symbolene som brukes:
B= magnetfelt
E= elektrisk felt
ρ= elektrisk ladetetthet
ε0= permittivitet av ledig plass = 8.854 × 10-12 m-3 kg-1 s4 EN2
q= total elektrisk ladning (nettosummen av positive ladninger og negative ladninger)
𝜙B = magnetisk strømning
J= strømtetthet
Jeg= elektrisk strøm
c= lyshastighet = 2.998 × 108 m / s
μ0 = permeabilitet av ledig plass = 4π × 10−7 Ikke relevant2
I tillegg er det viktig å vite at ∇ er deloperatøren, en prikk mellom to størrelser (X ∙ Y) viser et skalarprodukt, et fet skrift multiplikasjonssymbol mellom to størrelser er et vektorprodukt (X × Y), at deloperatoren med en prikk kalles "divergens" (f.eks. ∇ ∙ X= divergens avX= divX) og en deloperator med et skalarprodukt kalles krøllen (f.eks. ∇× Y= krøll avY= krøllY). Til slutt,ENi dENbetyr overflatearealet til den lukkede overflaten du beregner for (noen ganger skrevet som dS), ogsi dser en veldig liten del av grensen til den åpne overflaten du beregner for (selv om dette noen ganger er dl, med henvisning til en uendelig liten linje komponent).
Utledning av ligningene
Den første ligningen av Maxwells ligninger er Gauss lov, og den sier at netto elektrisk strøm gjennom a lukket overflate er lik den totale ladningen inne i formen delt på permittiviteten til fri rom. Denne loven kan være avledet fra Coulombs lov, etter å ha tatt det viktige trinnet for å uttrykke Coulombs lov i form av et elektrisk felt og den effekten det ville ha på en testladning.
Den andre av Maxwells ligninger tilsvarer i hovedsak utsagnet om at "det er ingen magnetiske monopol." Det sier at nettomagnetisk strømning gjennom en lukket overflate alltid vil være 0, fordi magnetfelt alltid er resultatet av a dipol. Loven kan være avledet fra Biot-Savart-loven, som beskriver magnetfeltet produsert av et nåværende element.
Den tredje ligningen - Faradays lov om induksjon - beskriver hvordan et skiftende magnetfelt produserer en spenning i en sløyfe av ledning eller leder. Det ble opprinnelig hentet fra et eksperiment. Gitt resultatet at en skiftende magnetisk fluks induserer en elektromotorisk kraft (EMF eller spenning) og derved en elektrisk strøm i en wire loop, og det faktum at EMF er definert som linjen integrert i det elektriske feltet rundt kretsen, er loven lett å sette sammen.
Den fjerde og siste ligningen, Ampere's law (eller Ampere-Maxwell-loven for å gi ham kreditt for sin bidrag) beskriver hvordan et magnetfelt genereres av en ladning i bevegelse eller en elektrisk strøm i endring felt. Loven er et resultat av eksperiment (og så - som alle Maxwells ligninger - var ikke egentlig “avledet” i tradisjonell forstand), men ved å brukeStokes ’teoremer et viktig skritt for å få det grunnleggende resultatet til det skjemaet som brukes i dag.
Eksempler på Maxwells ligninger: Gauss ’Law
For å være ærlig, spesielt hvis du ikke akkurat er oppe i vektorkalkulatoren, ser Maxwells ligninger ganske skremmende til tross for hvor relativt kompakte de alle er. Den beste måten å virkelig forstå dem på er å gå gjennom noen eksempler på bruk av dem i praksis, og Gauss ’lov er det beste stedet å starte. Gauss 'lov er egentlig en mer grunnleggende ligning som gjør jobben med Coulombs lov, og den er ganske enkelt å utlede Coulombs lov fra den ved å vurdere det elektriske feltet produsert av et punkt lade.
Ringer til kostnadenq, nøkkelpunktet for å anvende Gauss 'lov, er å velge riktig "overflate" for å undersøke den elektriske gjennomstrømningen. I dette tilfellet fungerer en kule bra, som har overflatearealEN = 4πr2, fordi du kan sentrere sfæren på punktladingen. Dette er en stor fordel for å løse problemer som dette, for da trenger du ikke å integrere et varierende felt over overflaten; feltet vil være symmetrisk rundt punktladningen, og så vil det være konstant over overflaten av sfæren. Så den integrerte formen:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {A} = \ frac {q} {ε_0}
Kan uttrykkes som:
E × 4πr ^ 2 = \ frac {q} {ε_0}
Merk atEfor det elektriske feltet er erstattet med en enkel størrelse, fordi feltet fra en punktladning rett og slett vil spre seg likt i alle retninger fra kilden. Å dele gjennom kuleens overflate gir nå:
E = \ frac {q} {4πε_0r ^ 2}
Siden kraften er relatert til det elektriske feltet avE = F/q, hvorqer en testavgift,F = qE, og så:
F = \ frac {q_1q_2} {4πε_0r ^ 2}
Der abonnementene er lagt til for å skille mellom de to anklagene. Dette er Coulombs lov angitt i standardform, vist å være en enkel konsekvens av Gauss 'lov.
Eksempler på Maxwells ligninger: Faradays lov
Faradays lov tillater deg å beregne den elektromotoriske kraften i en trådsløyfe som skyldes et skiftende magnetfelt. Et enkelt eksempel er en løkke av ledning, med radiusr= 20 cm, i et magnetfelt som øker i størrelse fraBJeg = 1 T tilBf = 10 T i løpet av ∆t= 5 s - hva er den induserte EMF i dette tilfellet? Den integrerte lovformen involverer strømmen:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {s} = - \ frac {∂ \ phi_B} {∂t}
som er definert som:
ϕ = BA \ cos (θ)
Den viktigste delen av problemet her er å finne hastigheten på endring av fluks, men siden problemet er ganske greit, kan du erstatte delderivatet med en enkel "endring i" hver mengde. Og integralet betyr egentlig bare elektromotorisk kraft, slik at du kan omskrive Faradays induksjonslov som:
\ text {EMF} = - \ frac {∆BA \ cos (θ)} {∆t}
Hvis vi antar at trådsløyfen er normal justert med magnetfeltet,θ= 0 ° og så cos (θ) = 1. Dette etterlater:
\ text {EMF} = - \ frac {∆BA} {∆t}
Problemet kan deretter løses ved å finne forskjellen mellom det opprinnelige og endelige magnetfeltet og området til sløyfen, som følger:
\ begin {align} \ text {EMF} & = - \ frac {∆BA} {∆t} \\ & = - \ frac {(B_f - B_i) × πr ^ 2} {∆t} \\ & = - \ frac {(10 \ text {T} - 1 \ text {T}) × π × (0.2 \ text {m}) ^ 2} {5 \ text {s}} \\ & = - 0.23 \ text {V } \ end {justert}
Dette er bare en liten spenning, men Faradays lov blir brukt på samme måte uansett.
Eksempler på Maxwells ligninger: Ampere-Maxwell Law
Ampere-Maxwell-loven er den siste av Maxwells ligninger som du må bruke regelmessig. Ligningen går tilbake til Amperes lov i fravær av et elektrisk felt i endring, så dette er det enkleste eksemplet å vurdere. Du kan bruke den til å utlede ligningen for et magnetfelt som skyldes en rett ledning som bærer en strømJeg, og dette grunnleggende eksemplet er nok til å vise hvordan ligningen brukes. Den fulle loven er:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {s} = μ_0 I + \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {∂} {∂t} \ int \ bm {E ∙} d \ bm {A }
Men uten skiftende elektrisk felt reduseres det til:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {s} = μ_0 I
Som med Gauss 'lov, hvis du velger en sirkel for overflaten, sentrert på trådløkken, antyder intuisjon at det resulterende magnetfeltet vil være symmetrisk, og slik at du kan erstatte integralen med et enkelt produkt av omkretsen av sløyfen og magnetfeltstyrken, forlater:
B × 2πr = μ_0 I
Deler med 2πrgir:
B = \ frac {μ_0 I} {2πr}
Som er det aksepterte uttrykket for magnetfeltet på avstandrresultatet av en rett ledning som bærer en strøm.
Elektromagnetiske bølger
Da Maxwell samlet sitt sett med ligninger, begynte han å finne løsninger på dem for å forklare forskjellige fenomener i den virkelige verden, og innsikten den ga i lys er en av de viktigste resultatene han oppnådd.
Fordi et skiftende elektrisk felt genererer et magnetfelt (etter Amperes lov) og et skiftende magnetfelt genererer et elektrisk felt (ifølge Faradays lov), utarbeidet Maxwell at en selvutbredende elektromagnetisk bølge kan være mulig. Han brukte ligningene sine for å finne bølgelikningen som ville beskrive en slik bølge, og bestemte at den ville bevege seg med lysets hastighet. Dette var et slags "eureka" øyeblikk; han innså at lys er en form for elektromagnetisk stråling, som fungerer akkurat som feltet han forestilte seg!
En elektromagnetisk bølge består av en elektrisk feltbølge og en magnetfeltbølge som pendler frem og tilbake, innrettet vinkelrett på hverandre. Svingningen av den elektriske delen av bølgen genererer magnetfeltet, og svingningen av denne delen gir igjen et elektrisk felt igjen og igjen når den beveger seg gjennom rommet.
Som alle andre bølger har en elektromagnetisk bølge en frekvens og en bølgelengde, og produktet av disse er alltid likc, lysets hastighet. Elektromagnetiske bølger er rundt oss, og i tillegg til synlig lys, kalles andre bølgelengder ofte radiobølger, mikrobølger, infrarøde, ultrafiolette, røntgenstråler og gammastråler. Alle disse formene for elektromagnetisk stråling har samme grunnleggende form som forklart av Maxwells ligninger, men energiene deres varierer med frekvens (dvs. en høyere frekvens betyr høyere energi).
Så for en fysiker var det Maxwell som sa: "La det være lys!"
