En radikal, eller rot, er det matematiske motsatte av en eksponent, i samme forstand at addisjon er det motsatte av subtraksjon. Den minste radikalen er kvadratroten, representert med symbolet √. Den neste radikalen er kubaroten, representert med symbolet ³√. Det lille tallet foran radikalen er indeksnummeret. Indeksnummeret kan være et hvilket som helst heltall, og det representerer også eksponenten som kan brukes til å avbryte den radikale. For eksempel å heve kraften til 3 vil avbryte en kuberot.
Generelle regler for hver radikal
Resultatet av en radikal operasjon er positivt hvis tallet under radikalen er positivt. Resultatet er negativt hvis tallet under radikalen er negativt og indeksnummeret er merkelig. Et negativt tall under radikalen med et jevnt indeksnummer gir et irrasjonelt tall. Husk at selv om det ikke vises, er indeksnummeret til en kvadratrot 2.
Produkt- og kvotientregler
For å multiplisere eller dele to radikaler, må radikalene ha samme indeksnummer. Produktregelen tilsier at multiplikasjonen av to radikaler ganske enkelt multipliserer verdiene innenfor og plasserer svaret innenfor samme type radikaler, og forenkler om mulig. For eksempel,
\ sqrt [3] {2} × \ sqrt [3] {4} = \ sqrt [3] {8}
som kan forenkles til 2. Denne regelen kan også fungere i revers, og dele en større radikal i to mindre radikale multipler.
Kvotientregelen sier at en radikal delt på en annen er det samme som å dele tallene og plassere dem under det samme radikale symbolet. For eksempel,
\ frac {\ sqrt {4}} {\ sqrt {8}} = \ sqrt {\ frac {4} {8}} = \ sqrt {\ frac {1} {2}}
Akkurat som produktregelen, kan du også reversere kvotientregelen for å dele en brøkdel under en radikal i to individuelle radikaler.
Tips
Her er et viktig tips for å forenkle kvadratrøtter og andre jevne røtter: Når indeksnummeret er jevnt, kan ikke tallene i radikalene være negative. I alle situasjoner kan ikke nevneren av brøkdelen tilsvare 0.
Forenkling av firkantede røtter og andre radikaler
Noen radikaler løser seg lett ettersom tallet inne løser seg til et helt tall, for eksempel √16 = 4. Men de fleste vil ikke forenkle så rent. Produktregelen kan brukes omvendt for å forenkle vanskeligere radikaler. For eksempel tilsvarer √27 også √9 × √3. Siden √9 = 3, kan dette problemet forenkles til 3√3. Dette kan gjøres selv når en variabel er under radikalen, selv om variabelen må forbli under radikalen.
Rasjonelle brøker kan løses på samme måte ved å bruke kvotientregelen. For eksempel,
\ sqrt {\ frac {5} {49}} = \ frac {\ sqrt {5}} {\ sqrt {49}}
Siden √49 = 7, kan brøkdelen forenkles til √5 ÷ 7.
Eksponenter, radikaler og forenkling av firkantede røtter
Radikaler kan elimineres fra ligninger ved å bruke eksponentversjonen av indeksnummeret. For eksempel i ligningen √x= 4, radikalen blir kansellert ved å heve begge sider til den andre makten:
(\ sqrt {x}) ^ 2 = (4) ^ 2 \ text {eller} x = 16
Den omvendte eksponenten av indeksnummeret tilsvarer selve radikalen. For eksempel er √9 det samme som 91/2. Å skrive radikalen på denne måten kan være nyttig når du arbeider med en ligning som har et stort antall eksponenter.