Når du begynner å gjøre trigonometri og kalkulus, kan du komme til uttrykk som synd (2θ), der du blir bedt om å finne verdien avθ. Å spille prøving og feiling med diagrammer eller en kalkulator for å finne svaret, vil variere fra et trukket mareritt til helt umulig. Heldigvis er dobbeltvinkelidentitetene her for å hjelpe. Dette er spesielle tilfeller av det som er kjent som en sammensatt formel, som bryter skjemaets funksjoner (EN + B) eller (EN – B) ned i funksjoner av bareENogB.
The Double-Angle Identities for Sine
Det er tre dobbeltvinkelidentiteter, en hver for sinus-, cosinus- og tangensfunksjonene. Men sinus- og cosinusidentitetene kan skrives på flere måter. Her er de to måtene å skrive den dobbelvinklede identiteten for sinusfunksjonen:
\ sin (2θ) = 2 \ sinθ \ cosθ \\ \ sin (2θ) = \ frac {2 \ tanθ} {1 + \ tan ^ 2θ}
The Double-Angle Identities for Cosine
Det er enda flere måter å skrive den dobbelvinklede identiteten for cosinus på:
\ cos (2θ) = \ cos ^ 2θ - \ sin ^ 2θ \\ \ cos (2θ) = 2 \ cos ^ 2θ - 1 \\ \ cos (2θ) = 1-2 \ sin ^ 2θ \\ \ cos ( 2θ) = \ frac {1 - \ tan ^ 2θ} {1 + \ tan ^ 2θ}
Den dobbelvinklede identiteten for tangent
Barmhjertig er det bare en måte å skrive dobbelvinkelidentiteten for den tangente funksjonen:
\ tan (2θ) = \ frac {2 \ tanθ} {1 - \ tan ^ 2θ}
Bruke dobbeltvinklede identiteter
Tenk deg at du står overfor en rett trekant der du vet lengden på sidene, men ikke målene på vinklene. Du er blitt bedt om å finneθ, hvorθer en av trekantsvinklene. Hvis hypotenusen i trekanten måler 10 enheter, måler siden ved siden av vinkelen din 6 enheter og siden motsatt vinkelen måler 8 enheter, spiller det ingen rolle at du ikke vet måletθ; du kan bruke din kunnskap om sinus og cosinus, pluss en av formlene med dobbel vinkel, for å finne svaret.
Når du har valgt en vinkel, kan du definere sinus som forholdet mellom motsatt side over hypotenusen og cosinus som forholdet mellom den tilstøtende siden over hypotenusen. Så i eksemplet du nettopp har gitt, har du:
\ sinθ = \ frac {8} {10} \\ \, \\ \ cosθ = \ frac {6} {10}
Du finner disse to uttrykkene fordi de er de viktigste byggesteinene for dobbelvinkelformlene.
Fordi det er så mange formler med dobbel vinkel å velge mellom, kan du velge den som ser lettere ut å beregne, og som returnerer den type informasjon du trenger. I dette tilfellet fordi du kjenner syndθog cosθallerede er det klart at det mest praktiske uttrykket er:
\ sin (2θ) = 2 \ sinθ \ cosθ
Du kjenner allerede verdiene til sinθ og cosθ, så sett dem inn i ligningen:
\ sin (2θ) = 2 × \ frac {8} {10} × \ frac {6} {10}
Når du har forenklet, har du:
\ sin (2θ) = \ frac {96} {100}
De fleste trigonometriske diagrammer er gitt i desimaler, så fortsett divisjonen representert av brøkdelen for å konvertere den til desimalform. Nå har du:
\ sin (2θ) = 0,96
Til slutt, finn den inverse sinus eller buesine på 0,96, som er skrevet som synd −1(0.96). Eller med andre ord, bruk kalkulatoren eller et diagram for å tilnærme vinkelen som har en sinus på 0,96. Som det viser seg er det nesten nøyaktig lik 73,7 grader. Så 2θ= 73,7 grader.
Del hver side av ligningen med 2. Dette gir deg:
θ = 36,85 \ tekst {grader}