Hvordan bestemme en ukjent eksponent

Hvis du ser uttrykkene 3² og 5³, kan du kunngjøre med en blomstring at disse betyr "tre kvadrert" og "fem kubikk", og være i stand til å gå fram til å finne like tall uten eksponenter, tallene representert med overskriftene øverst til høyre over. Disse tallene er i dette tilfellet 9 og 125.

Men hva om, i stedet for, si en enkel eksponentiell funksjon som y = x ³, må du i stedet løse en ligning som y = 3^x. Her vises x, den avhengige variabelen, som en eksponent. Er det en måte å trekke den variabelen ned fra abboren for lettere å takle den matematisk?

Faktisk er det, og svaret ligger i det naturlige supplementet til eksponenter, som er morsomme og nyttige mengder kjent som logaritmer.

An eksponent, også kalt a makt, er en komprimert måte å uttrykke gjentatte multiplikasjoner av et tall av seg selv. 4⁵ = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 1,024.

• Ethvert tall hevet til kraften 1 holder den samme verdien; ethvert tall med en eksponent på 0 er lik 1. For eksempel 72¹ = 72; 72⁰ = 1.

Eksponenter kan være negative og produsere forholdet

Logaritmer, eller "logger", kan betraktes som eksponenter uttrykt som noe annet enn en makt. Det hjelper nok ikke så mye, så kanskje et eksempel eller to vil.

I uttrykket 10³ = 1,000, tallet 10 er utgangspunkt, og den blir hevet til den tredje makten (eller kraft av tre). Du kan uttrykke dette som, "basen på 10 hevet til tredje kraft tilsvarer 1000".

Et eksempel på en logaritme er Logg₁₀(1,000) = 3. Merk at tallene og deres forhold til hverandre er de samme som i forrige eksempel, men de har blitt flyttet rundt. Med ord betyr dette, "loggbasen 10 på 1000 er lik 3."

Mengden til høyre er kraften som basen på 10 må heves til for å være lik argument, eller input av loggen, verdien i parentes (i dette tilfellet 1000). Denne verdien må være positiv, fordi basen - som kan være et annet tall enn 10, men antas å være 10 når den utelates, f.eks. "Logg 4" - er også alltid positiv.

Så hvordan kan du jobbe enkelt mellom logger og eksponenter? Noen få regler om oppførselen til logger kan komme i gang med eksponentproblemer.

Med informasjonen ovenfor er du klar til å prøve å løse en eksponent i en ligning.

Eksempel: Hvis 50 = 4^x, hva er x?

Hvis du tar loggen til basen 10 på hver side og utelater eksplisitt identifikasjon av basen, blir dette logg 50 = logg 4^x. Fra ruten ovenfor vet du at logg 4^x = x logg 4. Dette etterlater deg med

logg 50 = x logg 4, eller x = (logg 50) / (logg 4).

Ved hjelp av kalkulatoren eller den elektroniske enheten du velger, finner du at løsningen er (1.689 / 0.602) = 2.82.

De samme reglene gjelder når basen er e, den såkalte naturlig logaritme, som har en verdi på ca. 2,7183. Du bør også ha en knapp for dette på kalkulatoren din. Denne verdien får sin egen notasjon også: logg_ex skrives ganske enkelt "ln x."

• Funksjonen y = e^x i, med e ikke en variabel, men en konstant med denne verdien, er den eneste funksjonen med en skråning lik egen høyde for alle x og y.
  
• Akkurat som logg₁₀10^x = x, ln e^x = x for alle x.

Eksempel: Løs ligningen 16 = e^2,7x.

Som ovenfor er ln 16 = ln e^2,7x = 2,7x.

ln 16 = 2,77 = 2,7x, så x = 2/77 / 2,7 = 1.03.