I hverdagen bruker de fleste begrepenehastighetoghastighetom hverandre, men for fysikere er de eksempler på to veldig forskjellige typer mengder.
Mekanikkproblemer håndterer bevegelse av objekter, og mens du bare kan beskrive bevegelse i form av hastighet, er den spesifikke retningen som noe går ofte kritisk viktig.
På samme måte kan kreftene som påføres gjenstander komme fra mange forskjellige retninger - tenk på motstandsdyktighetene i en dragkamp, for eksempel - så fysikere som beskriver situasjoner som dette, må bruke mengder som beskriver både "størrelsen" på ting som krefter og i hvilken retning de handling. Disse mengdene kallesvektorer.
TL; DR (for lang; Leste ikke)
En vektor har både en størrelse og en spesifikk retning, men en skalar størrelse har bare en størrelse.
Vektorer vs. Skalarer
Hovedforskjellen mellom vektorer og skalarer er at størrelsen på en vektor ikke helt beskriver den; det må også være en angitt retning.
Retningen til en vektor kan angis på flere måter, enten gjennom positive eller negative tegn foran den, og uttrykker den i form av komponenter (skalarverdier ved siden av den aktuelle
Jeg, jogk"Enhetsvektor", som tilsvarer de kartesiske koordinatene tilx, yogz, henholdsvis), og legger til en vinkel i forhold til en angitt retning (f.eks. "60 grader fraxeller bare legge til noen ord for å beskrive retningen (f.eks. "nordvest").Derimot er en skalar bare vektornes størrelse uten ytterligere notasjon eller informasjon gitt - for eksempel er hastighet en skalarekvivalent med hastighetsvektoren. Fra et matematisk perspektiv er det den absolutte verdien av vektoren.
Imidlertid er mange mengder, som energi, trykk, lengde, masse, kraft og temperatur eksempler på skalarer som ikke bare er størrelsen på en tilsvarende vektor. Du trenger ikke å vite "retning" av masse, for eksempel for å ha et komplett bilde av den som en fysisk egenskap.
Det er noen kontraintuitive fakta som du kan forstå når du vet forskjellen mellom en skalar og en vektor, som ideen om at noe kan ha en konstant hastighet, men en kontinuerlig endring hastighet. Tenk deg en bil som kjører med en konstant hastighet på 10 km / t, men i en sirkel. Fordi retningen til en vektor er en del av dens definisjon, er bilens hastighetsvektor alltid endring i dette eksemplet, til tross for at størrelsen på vektoren (dvs. dens hastighet) er konstant.
Eksempler på vektormengder
Det er mange eksempler på vektorer i fysikk, men noen av de mest kjente eksemplene er kraft, momentum, akselerasjon og hastighet, som alle har en sterk rolle i klassisk fysikk. En hastighetsvektor kunne vises som 25 m / s mot øst, −8 km / t iy-retning,v= 5 m / sJeg+ 10 m / sj, eller 10 m / s i retning 50 grader frax-akser.
Momentum-vektorer er et annet eksempel du kan bruke for å se hvordan størrelsen og retningen til vektoren vises i fysikk. Disse fungerer akkurat som hastighetsvektoreksemplene, med 50 kg m / s mot vest, −12 km / t izretning,s= 12 kg m / sJeg- 10 kg m / sj- 15 kg m / skog 100 kg m / s 30 grader frax-eksempel på eksempler på hvordan de kan vises. De samme grunnleggende punktene gjelder for visning av akselerasjonsvektorer, med den eneste forskjellen som enheten m / s2 og det ofte brukte symbolet for vektoren,en.
Kraft er den siste av disse eksemplene på vektoruttrykk, og mens det er mange likheter, bruker vi sylindriske koordinater (r, θ, z) i stedet for kartesiske koordinater kan det hjelpe å vise andre måter de kan vises på. For eksempel kan du skrive en styrke somF= 10 N.r+ 35 N𝛉, for en kraft med komponenter i radial retning og azimutretning, eller beskriv tyngdekraften på et 1 kg objekt på jorden som 10 N i -rretning (dvs. mot sentrum av planeten).
Vector notasjon i diagrammer
I diagrammer vises vektorer ved hjelp av piler, med størrelsen på vektoren representert av lengden på pilen og dens retning representert av retningen der pilen peker. For eksempel viser en større pil at en kraft er større (dvs. flere newton eller større størrelse) enn en annen kraft.
For en vektor som viser bevegelse, for eksempel momentum eller hastighetsvektor, ernull vektor(dvs. en vektor som ikke representerer hastighet eller momentum) vises med en enkelt prikk.
Det er verdt å merke seg at fordi lengden på pilen representerer størrelsen på vektoren og retningen representerer retningen på vektoren. Det er nyttig å prøve å være rimelig nøyaktig når du lager et vektordiagram. Det trenger ikke å være perfekt, men hvis vektorenener dobbelt så stor som vektorenb, pilen skal være omtrent dobbelt så lang.
Vector Addisjon og subtraksjon
Vectoraddisjon og vektreduksjon er litt mer komplisert enn å legge til og trekke fra skalarer, men du kan enkelt hente konseptene. Det er to hovedtilnærminger du kan bruke, og hver har potensiell bruk, avhengig av det spesifikke problemet du takler.
Den første, og den enkleste å bruke når du har fått to vektorer i komponentform, er å bare legge til samsvarende komponenter på samme måte som du vil legge til vanlige skalarer. For eksempel hvis du trengte å legge til de to krefteneF1 = 5 NJeg+ 10 NjogF2 = 6 NJeg+ 15 Nj+ 10 Nk, vil du legge tilJegkomponenter, deretterjkomponenter og til sluttkkomponenter som følger:
\ begin {align} \ bm {F} _1 + \ bm {F} _2 & = (5 \; \ text {N} \; \ bold {i} + 10 \; \ text {N} \; \ bold { j}) + (6 \; \ text {N} \; \ bold {i} + 15 \; \ text {N} \; \ bold {j} + 10 \; \ text {N} \; \ bold { k}) \\ & = (5 \; \ text {N} + 6 \; \ text {N}) \ fet {i} + (10 \; \ tekst {N} + 15 \; \ tekst {N}) \ fet {j} + (0 \; \ tekst {N} + 10 \; \ text {N}) \ bold {k} \\ & = 11 \; \ text {N} \; \ bold {i} + 25 \; \ text {N} \; \ bold {j} + 10 \; \ text {N} \; \ bold {k} \ end {justert}
Vector subtraksjon fungerer på nøyaktig samme måte, bortsett fra at du trekker fra mengdene i stedet for å legge dem til. Vektortilsetning er også kommutativ, som vanlig tillegg med reelle tall, såen + b = b + en.
Du kan også utføre vektortilsetning ved hjelp av pilediagrammer ved å legge vektorpilene fra hode til hale og deretter tegne en ny vektorpil for summen av vektorene som forbinder halen til den første pilen med hodet på sekund.
Hvis du har en enkel vektortilsetning med en ix-retning og en annen iy-retning, diagrammet danner en rettvinklet trekant. Du kan fullføre vektortilsetningen og bestemme den resulterende vektornes størrelse og retning ved å "løse" trekanten ved hjelp av trigonometri og Pythagoras 'teorem.
Dot Product og Cross Product
Å multiplisere vektorer er litt mer komplisert enn skalar multiplikasjon for reelle tall, men de to hovedformene for multiplikasjon er punktproduktet og kryssproduktet. Punktproduktet kalles skalarproduktet og er definert som:
\ bm {u} \; ∙ \; \ bm {v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3
eller
\ bm {u} \; ∙ \; \ bm {v} = \ lvert \ bm {u} \ rvert \ lvert \ bm {v} \ rvert \ text {cos} (θ)
hvorθer vinkelen mellom de to vektorene, og tegningene 1, 2 og 3 representerer den første, andre og tredje komponenten av vektoren. Resultatet av prikkproduktet er en skalar.
Tverrproduktet er definert som:
\ bm {a} \; \ bold {×} \; \ bm {b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)
med kommaene som skiller komponentene i resultatet i forskjellige retninger.