Bølgefunksjoner: definisjon, egenskaper, ligning og tegn

Richard Feynman sa en gang: “Hvis du tror du forstår kvantemekanikk, forstår du ikke kvantemekanikk." Mens han utvilsomt var litt glatt, er det definitivt sannhet i hans uttalelse. Kvantemekanikk er et utfordrende emne selv for de mest avanserte fysikerne.

Emnet er så kraftig ikke intuitivt at det ikke er veldig mye håp om forståelseHvorfornaturen oppfører seg slik den gjør på kvantenivå. Imidlertid er det gode nyheter for fysikkstudenter som håper å kunne bestå klasser i kvantemekanikk. Bølgefunksjonen og Schrodinger-ligningen er unektelig nyttige verktøy for å beskrive og forutsi hva som vil skje i de fleste situasjoner.

Du kan ikkefull forståelsehva som skjer - fordi materiens oppførsel i denne skalaen ersårart det nesten trosser forklaring - men verktøyene forskere har utviklet for å beskrive kvanteteori er uunnværlige for enhver fysiker.

Kvantemekanikk er den grenen av fysikken som håndterer ekstremt små partikler og andre gjenstander på lignende skalaer som atomer. Uttrykket "kvante" kommer fra "kvante", som betyr "hvor stort", men i sammenheng refererer det til det faktum at energi og andre størrelser som vinkelmoment får diskrete, kvantiserte verdier på skalaen til kvante mekanikk.

Dette er i motsetning til å ha et "kontinuerlig" utvalg av mulige verdier, som størrelser på makroskalaen. For eksempel i klassisk mekanikk er enhver verdi for den totale energien til si, en ball i bevegelse, tillatt, mens i kvantemekanikk kan partikler som elektroner bare ta spesifikke,fiksetverdier av energi når de er bundet til et atom.

Det er mange andre forskjeller mellom kvantemekaniske systemer og verden av klassisk mekanikk. For eksempel, i kvantemekanikk, har observerbare egenskaper ikke en endelig verdifør du måler dem; de eksisterer som en superposisjon av flere mulige verdier.

Hvis du måler momentet til en ball, måler du den virkelige, allerede eksisterende verdien av en fysisk eiendom, men hvis du måler momentet til en partikkel, plukker du ut et utvalg av mulige fastslårved å ta en måling. Resultatene av målinger i kvantemekanikk avhenger av sannsynligheter, og forskere kan ikke gjøre det definitive uttalelser om utfallet av en bestemt uttalelse på samme måte som i klassisk mekanikk.

Som et enkelt eksempel har partikler ikke veldefinerte posisjoner, men har et bestemt (og veldefinert) område av posisjoner over hele rommet, og du kan skrive sannsynlighetstettheten over det mulige området lokasjoner. Du kan måle en partikkels posisjon og få en tydelig verdi, men hvis du utførte målingen igjen inøyaktig samme omstendigheter, ville du få et annet resultat.

Det er mange andre uvanlige egenskaper for partikler, for eksempel bølgepartikkel-dualitet, der hver materiepartikkel har en assosiert de Broglie-bølge. Alle små partikler viser både partikkelignende og bølgelignende oppførsel avhengig av omstendighetene.

Bølgepartikkerdualitet er et av nøkkelbegrepene i kvantefysikk, og det er derfor hver partikkel er representert av en bølgefunksjon. Dette er vanligvis gitt det greske brevetΨ(psi) og er en funksjon av posisjon (x) og tid (t), og den inneholder all informasjon som kan være kjent om partikkelen.

Tenk på det punktet igjen - til tross for materiens sannsynlige natur på kvanteskalaen, tillater bølgefunksjonen afullstendigbeskrivelse av partikkelen, eller i det minste en så fullstendig beskrivelse som mulig. Utgangen kan være en sannsynlighetsfordeling, men den klarer fortsatt å være fullstendig i beskrivelsen.

Modulen (dvs. absolutt verdi) av denne funksjonen i kvadrat forteller deg sannsynligheten for at du vil finne partikkelen som blir beskrevet i posisjonx(eller innenfor et lite område dx, for å være presis) til tident. Bølgefunksjoner må normaliseres (sett slik at sannsynligheten er 1 for at den blir funnetet sted) for at dette skal være tilfelle, men dette gjøres nesten alltid, og hvis det ikke er det, kan du normalisere bølgefunksjonen selv ved å summere modulen i kvadrat over alle verdier avx, setter den til lik 1 og definerer en normaliseringskonstant tilsvarende.

Du kan bruke bølgefunksjonen til å beregne forventningsverdien for posisjonen til en partikkel på tidspunktett, som egentlig er den gjennomsnittlige verdien du ville oppnå for posisjonen over mange målinger.

Du beregner forventningsverdien ved å omgir “operatøren” for den observerbare (f.eks. For posisjon er dette barex) med bølgefunksjonen og dens komplekse konjugat (som en sandwich) og deretter integreres over hele rommet. Du kan bruke den samme tilnærmingen med forskjellige operatører for å beregne forventningsverdier for energi, momentum og andre observerbare.

Schrodinger-ligningen er den viktigste ligningen i kvantemekanikken, og den beskriver utviklingen av bølgefunksjonen over tid, og lar deg bestemme verdien av den. Den er nært knyttet til bevaring av energi og kommer til slutt fra den, men den spiller en rolle som den som Newtons lover spiller i klassisk mekanikk. Den enkleste måten å skrive ligningen på er:

Her,Her den Hamilton-operatøren, som har en lengre fullform:

Dette virker på bølgefunksjonen for å beskrive evolusjonen i rom og tid, og i tidsuavhengig versjon av Schrodinger-ligningen, kan den betraktes som energioperatør for kvantesystem. Kvantemekaniske bølgefunksjoner er løsninger på Schrodinger-ligningen.

Usikkerhetsprinsippet Heisenberg er et av de mest berømte prinsippene for kvantemekanikk, og sier at posisjonenxog momentumsav en partikkel kan ikke begge være kjent med sikkerhet, eller mer spesifikt, i en vilkårlig grad av presisjon.

Det er enfundamentalbegrense til nøyaktighetsnivået du kan måle begge disse størrelsene samtidig. Resultatet kommer fra partikkelbølgedualiteten til kvantemekaniske objekter, og spesielt måten de blir beskrevet som en bølgepakke med flere komponentbølger.

Mens posisjons- og momentumusikkerhetsprinsippet er det mest kjente, er det også energitiden usikkerhetsprinsipp (som sier det samme om energi og tid), men også den generelle usikkerheten prinsipp.

Kort sagt, dette sier at to størrelser som ikke "pendler" med hverandre (hvorAB - BA ≠ 0) kan ikke være kjent samtidig med vilkårlig presisjon. Det er mange andre størrelser som ikke pendler med hverandre, og så mange par observerbare som ikke kan være nøyaktig bestemt samtidig - presisjon i en måling betyr enorm usikkerhet i den andre.

Dette er en av de viktigste tingene med kvantemekanikk som er vanskelig å forstå fra vårt makroskopiske perspektiv. Objekter du møter på daglig basisallehar klart definerte verdier for ting som deres posisjon og deres fremdrift til enhver tid, og måling tilsvarende verdier i klassisk fysikk er bare begrenset av nøyaktigheten til måleutstyret ditt.

I kvantemekanikk, skjønt,selve naturensetter en grense for presisjonen du kan måle to ikke-pendlende observasjoner til. Det er fristende å tro at dette ganske enkelt er et praktisk problem, og du vil være i stand til å oppnå det en dag, men det er ganske enkelt ikke tilfelle: Det er umulig.

Rartheten som kvantemekanikkens matematiske formalisme antydet, ga fysikere mye å tenke på: Hva var for eksempel den fysiske tolkningen av bølgefunksjonen? Var et elektronegentligen partikkel eller en bølge, eller kan det virkelig være begge deler? Københavns tolkning er det mest kjente forsøket på å svare på spørsmål som dette og fremdeles den mest aksepterte.

Tolkningen sier i hovedsak at bølgefunksjonen og Schrodinger-ligningen er en komplett beskrivelse av bølgen eller partikkelen, og all informasjon som ikke kan hentes fra dem, gjør det ganske enkelt ikke eksistere.

For eksempel spres bølgefunksjonen over rommet, og dette betyr at partikkelen i seg selv ikke har en fast plassering til du måler den, på hvilket tidspunkt bølgefunksjonen "kollapser", og du får en klar verdi. I dette synet betyr ikke bølgepartikkeldualiteten til kvantemekanikken at en partikkel er detbådeen bølge og en partikkel; det betyr ganske enkelt at en partikkel som et elektron vil oppføre seg som en bølge under noen omstendigheter og som en partikkel i andre.

Niels Bohr, den største talsmann for Københavns tolkning, vil angivelig kritisere spørsmål som: "Er elektronet egentlig en partikkel, eller er det en bølge?"

Han sa at de var meningsløse, for for å finne ut må du utføre en måling og målingens form (dvs. hva de ble designet for å oppdage) ville avgjøre resultatet du oppnådd. I tillegg er alle målinger grunnleggende sannsynlige, og denne sannsynligheten er innebygd i naturen i stedet for på grunn av mangel på kunnskap eller presisjon fra forskernes side.

Det er fremdeles mye uenighet om tolkningen av kvantemekanikk, og det er alternative tolkninger som det er verdt å lære om, særlig tolkningen av mange verdener og de Broglie-Bohm tolkning.

De mange verdens tolkninger ble foreslått av Hugh Everett III, og fjerner i hovedsak behovet for bølgenes kollaps fungerer helt, men foreslår derved flere parallelle "verdener" (som har en glatt definisjon i teorien) som eksisterer sammen med din egen.

I hovedsak står det at når du foretar en måling av et kvantesystem, involverer ikke resultatet du oppnår bølgefunksjonen kollapser på en bestemt verdi for den observerbare, men flere verdener løsner og du befinner deg i en og ikke i andre. I din verden er for eksempel partikkelen i posisjon A snarere enn B eller C, men i en annen verden vil den være på B, og i nok en annen vil den være på C.

Dette er i hovedsak en deterministisk (snarere enn en sannsynlighetsteori), men det er usikkerheten din om hvilken verden du bor i som skaper kvantemekanikkens tilsynelatende sannsynlige karakter. Sannsynligheten er virkelig relatert til om du er i verden A, B eller C, ikke der partikkelen er i din verden. Imidlertid reiser "splittelsen" av verden uten tvil så mange spørsmål som den svarer på, og ideen er derfor fortsatt ganske kontroversiell.

De Broglie-Bohm-tolkningen kalles noen gangerpilotbølgemekanikk, og det følger av Københavns tolkning ved at partikler er beskrevet av bølgefunksjoner og Schrodinger-ligningen.

Imidlertid sier det at hver partikkel har en bestemt posisjon selv når den ikke blir observert, men den er styrt av en "pilotbølge", som det er en annen ligning du bruker for å beregne utviklingen av system. Dette beskriver bølgepartikkel-dualiteten ved å si at en partikkel "surfer" i en bestemt posisjon på en bølge, med bølgen som styrer bevegelsen, men den eksisterer fortsatt selv når den ikke observeres.