Euklidisk avstand er avstanden mellom to punkter i det euklidiske rommet. Det euklidiske rommet ble opprinnelig utviklet av den greske matematikeren Euklid rundt 300 f.v.t. å studere forholdet mellom vinkler og avstander. Dette geometriske systemet er fortsatt i bruk i dag og er det som videregående studenter studerer oftest. Euklidisk geometri gjelder spesielt mellomrom med to og tre dimensjoner. Det kan imidlertid lett generaliseres til dimensjoner av høyere ordre.
Beregn den euklidiske avstanden for en dimensjon. Avstanden mellom to punkter i en dimensjon er ganske enkelt den absolutte verdien av forskjellen mellom koordinatene. Matematisk vises dette som | p1 - q1 | hvor p1 er den første koordinaten til det første punktet og q1 er den første koordinaten til det andre punktet. Vi bruker den absolutte verdien av denne forskjellen siden avstand normalt bare anses å ha en ikke-negativ verdi.
Ta to punkter P og Q i todimensjonalt euklidisk rom. Vi vil beskrive P med koordinatene (p1, p2) og Q med koordinatene (q1, q2). Konstruer nå et linjesegment med endepunktene til P og Q. Dette linjesegmentet vil danne hypotenusen til en høyre trekant. Når vi utvider resultatene oppnådd i trinn 1, bemerker vi at lengden på bena til denne trekanten er gitt av | p1 - q1 | og | p2 - q2 |. Avstanden mellom de to punktene vil da bli gitt som lengden på hypotenusen.
Bruk Pythagoras teorem for å bestemme lengden på hypotenusen i trinn 2. Denne setningen sier at c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 hvor c er lengden på en høyre trekants hypotenuse og a, b er lengdene på de to andre bena. Dette gir oss c = (a ^ 2 + b ^ 2) ^ (1/2) = ((p1 - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^ (1/2). Avstanden mellom 2 punkter P = (p1, p2) og Q = (q1, q2) i todimensjonalt rom er derfor ((p1 - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^ (1/2).
Utvid resultatene fra trinn 3 til et tredimensjonalt rom. Avstanden mellom punktene P = (p1, p2, p3) og Q = (q1, q2, q3) kan da gis som ((p1-q1) ^ 2 + (p2-q2) ^ 2 + (p3-q3) ^ 2) ^ (1/2).
Generaliser løsningen i trinn 4 for avstanden mellom to punkter P = (p1, p2,..., pn) og Q = (q1, q2,..., qn) i n-dimensjoner. Denne generelle løsningen kan gis som ((p1-q1) ^ 2 + (p2-q2) ^ 2 +... + (pn-qn) ^ 2) ^ (1/2).