Laws of Pendulum Motion

Pendler har interessante egenskaper som fysikere bruker for å beskrive andre objekter. For eksempel følger planetarisk bane et lignende mønster, og det kan føles som om du er på en pendel ved å svinge på et svingesett. Disse egenskapene kommer fra en rekke lover som styrer pendelens bevegelse. Ved å lære disse lovene kan du begynne å forstå noen av de grunnleggende prinsippene for fysikk og bevegelse generelt.

Bevegelsen til et pendel kan beskrives ved hjelp av

derθrepresenterer vinkelen mellom strengen og den vertikale linjen nedover i midten,trepresenterer tid, ogTer perioden, tiden som er nødvendig for at en komplett syklus av pendelens bevegelse skal inntreffe (målt ved1 / f), av bevegelsen for en pendel.

​Enkel harmonisk bevegelse, eller bevegelse som beskriver hvordan et objekts hastighet svinger proporsjonalt med mengden forskyvning fra likevekt, kan brukes til å beskrive ligningen til et pendel. En pendels bobsvinging holdes i bevegelse av denne kraften som virker på den når den beveger seg frem og tilbake.

•••Syed Hussain Ather

Lovene som styrer pendelbevegelse førte til oppdagelsen av en viktig eiendom. Fysikere deler opp krefter i en vertikal og en horisontal komponent. I pendelbevegelse,tre krefter jobber direkte på pendelen: massen av boben, tyngdekraften og spenningen i strengen. Masse og tyngdekraft fungerer begge loddrett nedover. Siden pendelen ikke beveger seg opp eller ned, fjerner den vertikale komponenten i strengstrammingen massen og tyngdekraften.

Dette viser at massen til et pendel ikke har noen relevans for bevegelsen, men den horisontale strengspenningen gjør det. Enkel harmonisk bevegelse er lik sirkelbevegelse. Du kan beskrive et objekt som beveger seg i en sirkulær bane som vist i figuren ovenfor ved å bestemme vinkelen og radiusen den tar i den tilsvarende sirkulære banen. Deretter, ved å bruke trigonometrien til høyre trekant mellom sirkelens sentrum, objektets posisjon og forskyvning i begge retninger x og y, kan du finne ligningerx = rsin (θ)ogy = rcos (θ).​

Den endimensjonale ligningen til et objekt i enkel harmonisk bevegelse er gitt avx = r cos (ωt).Du kan erstatte videreENtilrderENer denamplitude, maksimal forskyvning fra objektets utgangsposisjon.

Vinkelhastighetenωmed hensyn til tidtfor disse vinkleneθer gitt avθ = ωt. Hvis du erstatter ligningen som relaterer vinkelhastighet til frekvensf​, ​ω = 2​​πf, kan du forestille deg denne sirkelbevegelsen, så som en del av en pendel som svinger frem og tilbake, så er den resulterende enkle harmoniske bevegelsesligningen

•••Syed Hussain Ather

Pendler, som masser på en kilde, er eksempler påenkle harmoniske oscillatorer: Det er en gjenopprettingskraft som øker avhengig av hvor forskjøvet pendelen er, og bevegelsen deres kan beskrives ved hjelp avenkel harmonisk oscillatorligning​

derθrepresenterer vinkelen mellom strengen og den vertikale linjen nedover i midten,trepresenterer tid ogTer denperiode, tiden som er nødvendig for at en komplett syklus av pendelens bevegelse skal finne sted (målt ved1 / f), av bevegelsen for en pendel.

​θ_makser en annen måte å definere det maksimale vinkelen svinger under pendelens bevegelse, og er en annen måte å definere pendelens amplitude på. Dette trinnet blir forklart nedenfor under seksjonen "Enkel definisjon av pendel."

En annen implikasjon av lovene til en enkel pendel er at perioden med svingning med konstant lengde er uavhengig av størrelse, form, masse og materiale til gjenstanden på enden av strengen. Dette vises tydelig gjennom den enkle pendelavledningen og ligningene som oppstår.

Du kan bestemme ligningen for aenkel pendel, definisjonen som avhenger av en enkel harmonisk oscillator, fra en serie trinn som begynner med bevegelsesligningen for et pendel. Fordi tyngdekraften til et pendel er lik kraften til pendelens bevegelse, kan du sette dem lik hverandre ved å bruke Newtons andre lov med en pendelmasseM, strenglengdeL, vinkelθ,gravitasjonsakselerasjongog tidsintervallt​.

•••Syed Hussain Ather

Du satte Newtons andre lov lik treghetsmomentetJeg = hr²for litt massemog radius av sirkelbevegelsen (lengden på strengen i dette tilfellet)rganger vinkelakselerasjonenα​.

1. ​ΣF = Ma: Newtons andre lov sier at nettokraftenΣFpå et objekt er lik objektets masse multiplisert med akselerasjon.
2. ​Ma = I α: Dette lar deg stille inn kraften til gravitasjonsakselerasjon (-Mg sin (θ) L)lik kraften til rotasjonen
   
3. ​-Mg sin (θ) L = I α​: Du kan få retningen for den vertikale kraften på grunn av tyngdekraften (-Mg) ved å beregne akselerasjonen somsin (θ) Lhvissin (θ) = d / Lfor litt vannrett forskyvningdog vinkelθ​ å redegjøre for retningen.
   
4. ​-Mg sin (θ) L = ML² α: Du erstatter ligningen for treghetsmoment for et roterende legeme med strenglengde L som radius.
   
5. ​-Mg sin (θ) L = -ML²​​d²θ / dt: Gjør rede for vinkelakselerasjonen ved å erstatte det andre derivatet av vinkelen med hensyn til tid forα.Dette trinnet krever kalkulus og differensialligninger.
   
6. ​d²θ / dt² + (g / L) sinθ = 0: Du kan få dette ved å omorganisere begge sider av ligningen
   
7. ​d²θ / dt² + (g / l) θ = 0: Du kan omtrentligsynd (θ)somθfor en enkel pendel i svært små svingningsvinkler
   
8. ​θ (t) = θ_makscos (t (L / g)²): Bevegelsesligningen har denne løsningen. Du kan bekrefte det ved å ta det andre derivatet av denne ligningen og jobbe for å få trinn 7.

Det er andre måter å lage en enkel pendelavledning. Forstå betydningen bak hvert trinn for å se hvordan de er i slekt. Du kan beskrive en enkel pendelbevegelse ved hjelp av disse teoriene, men du bør også ta hensyn til andre faktorer som kan påvirke enkel pendelteori.

Hvis du sammenligner resultatet av denne avledningen

til ligningen til en enkel harmonisk oscillatorby setter dem like til hverandre, kan du utlede en ligning for perioden T:

Legg merke til at denne ligningen ikke avhenger av massenMav pendelen, amplitudenθ_maks, heller ikke på tident. Det betyr at perioden er uavhengig av masse, amplitude og tid, men er i stedet avhengig av strengens lengde. Det gir deg en kortfattet måte å uttrykke pendelbevegelse på.

Med ligningen i en periode kan du omorganisere ligningen for å oppnå

og erstatt 1 sek forTog9,8 m / s²tilgfor å oppnåL =0,0025 m. Husk at disse ligningene med enkel pendelteori antar at lengden på strengen er friksjonsfri og masseløs. Å ta hensyn til disse faktorene vil kreve mer kompliserte ligninger.

Du kan trekke pendelen tilbakeθå la den svinge frem og tilbake for å se den svinge akkurat som en vår kan. For en enkel pendel kan du beskrive den ved hjelp av bevegelsesligninger til en enkel harmonisk oscillator. Ligningen av bevegelse fungerer bra for mindre verdier av vinkel ogamplitude, den maksimale vinkelen, fordi den enkle pendelmodellen er avhengig av tilnærmingen somsynd (θ)​ ≈ ​θfor noe pendelvinkelθ.Ettersom verdivinklene og amplitudene blir større enn rundt 20 grader, fungerer ikke denne tilnærmingen like bra.

Prøv det selv. En pendel som svinger med en stor startvinkelθvil ikke svinge så regelmessig for å tillate deg å bruke en enkel harmonisk oscillator for å beskrive det. I en mindre startvinkelθ, nærmer seg pendelen en vanlig, oscillerende bevegelse mye lettere. Fordi massen til et pendel ikke har noen betydning for bevegelsen, har fysikere bevist at alle pendler har samme periode for svingning vinkler - vinkelen mellom sentrum av pendelen på sitt høyeste punkt og sentrum av pendelen i stoppestilling - mindre enn 20 grader.

For alle praktiske formål med et pendel i bevegelse, vil pendelen til slutt bremse og stoppe på grunn av friksjon mellom strengen og dens festede punkt over så vel som på grunn av luftmotstand mellom pendel og luft rundt det.

For praktiske eksempler på pendelbevegelse, vil perioden og hastigheten avhenge av hvilken type materiale som brukes som ville forårsake disse eksemplene på friksjon og luftmotstand. Hvis du utfører beregninger på teoretisk pendelsvingende oppførsel uten å ta hensyn til disse kreftene, vil det utgjøre en pendel som svinger i det uendelige.

Newtons første lov definerer hastigheten på objekter som svar på krefter. Loven sier at hvis et objekt beveger seg med en bestemt hastighet og i en rett linje, vil det fortsette å bevege seg i den hastigheten og i en rett linje, uendelig, så lenge ingen andre krefter virker på den. Tenk deg å kaste en ball rett frem - ballen vil gå rundt jorden igjen og igjen hvis luftmotstand og tyngdekraft ikke virker på den. Denne loven viser at siden et pendel beveger seg fra side til side og ikke opp og ned, har det ingen opp og ned krefter som virker på det.

Newtons andre lov brukes til å bestemme nettokraften på pendelen ved å sette gravitasjonskraften lik kraften til strengen som trekker opp igjen på pendelen. Hvis du setter disse ligningene til hverandre, kan du utlede bevegelsesligningene for pendelen.

Newtons tredje lov sier at hver handling har en reaksjon av like stor styrke. Denne loven fungerer med den første loven som viser at selv om masse og tyngdekraft avbryter den vertikale komponenten av strengstrammingsvektoren, fjerner ingenting den horisontale komponenten. Denne loven viser at kreftene som virker på en pendel kan avbryte hverandre.

Fysikere bruker Newtons første, andre og tredje lover for å bevise at den horisontale strengspenningen beveger pendelen uten hensyn til masse eller tyngdekraft. Lovene i en enkel pendel følger ideene til Newtons tre bevegelseslover.