Stel je voor dat je midden in een perfect cirkelvormige arena staat. Je kijkt uit naar de menigte langs de zijkanten van de arena, en je ziet je beste vriend op een stoel en je wiskundeleraar op de middelbare school een paar secties verder. Wat is de afstand tussen hen en jou? Hoe ver zou je moeten lopen om van de stoel van je vriend naar de stoel van je leraar te reizen? Wat zijn de afmetingen van de hoeken tussen jullie? Dit zijn allemaal vragen die te maken hebben met centrale hoeken.
EEN centrale hoek is de hoek die ontstaat wanneer twee stralen van het middelpunt van de cirkel naar de randen worden getrokken. In dit voorbeeld zijn de twee stralen je twee zichtlijnen van jou, in het midden van de arena, naar je vriend, en je zichtlijn naar je leraar. De hoek die tussen deze twee lijnen vormt, is de centrale hoek. Het is de hoek die het dichtst bij het middelpunt van de cirkel ligt.
Je vriend en je leraar zitten langs de omtrek of de randen van de cirkel. Het pad langs de arena dat hen verbindt is een boog.
Vind de centrale hoek op basis van booglengte en -omtrek
Er zijn een aantal vergelijkingen die u kunt gebruiken om de centrale hoek te vinden. Soms krijg je de boog lengte, de afstand langs de omtrek tussen twee punten. (In het voorbeeld is dit de afstand die je door de arena zou moeten lopen om van je vriend naar je leraar te komen.) De relatie tussen centrale hoek en booglengte is:
(booglengte) ÷ omtrek = (centrale hoek) ÷ 360°
De centrale hoek is in graden.
Deze formule is logisch, als je erover nadenkt. De lengte van de boog uit de totale lengte rond de cirkel (omtrek) is dezelfde verhouding als de hoek van de boog uit de totale hoek in een cirkel (360 graden).
Om deze vergelijking effectief te gebruiken, moet u de omtrek van de cirkel weten. Maar je kunt deze formule ook gebruiken om de booglengte te vinden als je de centrale hoek en de omtrek kent. Of, als je de booglengte en de centrale hoek hebt, kun je de omtrek vinden!
Vind de centrale hoek uit de booglengte en straal
U kunt ook de straal van de cirkel en de booglengte gebruiken om de middelpuntshoek te vinden. Noem de maat van de middelpuntshoek. Dan:
θ = s÷ r, waarbij s de booglengte is en r de straal. θ wordt gemeten in radialen.
Nogmaals, je kunt deze vergelijking herschikken, afhankelijk van de informatie die je hebt. U kunt de lengte van de boog afleiden uit de straal en de middelpuntshoek. Of u kunt de straal vinden als u de centrale hoek en de booglengte hebt.
Als u de booglengte wilt, ziet de vergelijking er als volgt uit:
s =* r, waarbij s de booglengte is, r de straal en θ de centrale hoek in radialen is.
De centrale hoekstelling
Laten we een draai geven aan je voorbeeld waar je in de arena bent met je buurman en je leraar. Nu is er een derde persoon die je kent in de arena: je buurman. En nog iets: ze staan achter je. Je moet je omdraaien om ze te zien.
Je buurman is ongeveer aan de overkant van de arena van je vriend en je leraar. Vanuit het oogpunt van je buurman is er een hoek gevormd door hun zichtlijn naar de vriend en hun zichtlijn naar de leraar. Dat heet een ingeschreven hoek. Een ingeschreven hoek is een hoek gevormd door drie punten langs de omtrek van een cirkel.
De centrale hoekstelling verklaart de relatie tussen de grootte van de centrale hoek, gevormd door jou, en de ingeschreven hoek, gevormd door je buurman. De Stelling centrale hoek zegt dat de middelpuntshoek is tweemaal de ingeschreven hoek. (Hierbij wordt ervan uitgegaan dat u dezelfde eindpunten gebruikt. Jullie kijken allebei naar de leraar en de vriend, niet naar iemand anders).
Hier is een andere manier om het te schrijven. Laten we stoel A van je vriend, stoel B van je leraar en stoel C van je buurman noemen. Jij, in het midden, kunt O zijn.
Dus voor drie punten A, B en C langs de omtrek van een cirkel en punt O in het midden, is de middelpuntshoek ∠AOC tweemaal de ingeschreven hoek ∠ABC.
Dat is, ∠AOC = 2∠ABC.
Dit heeft enige zin. Je staat dichter bij de vriend en de leraar, dus naar jou kijken ze verder uit elkaar (een grotere hoek). Voor je buurman aan de andere kant van het stadion lijken ze veel dichter bij elkaar (een kleinere hoek).
Uitzondering op de centrale hoekstelling
Laten we de zaken nu eens opschuiven. Je buurman aan de andere kant van de arena begint te bewegen! Ze hebben nog steeds een zichtlijn naar de vriend en de leraar, maar de lijnen en hoeken blijven verschuiven als de buurman beweegt. Raad eens: zolang de buurman buiten de boog tussen de vriend en de buurman blijft, geldt de centrale hoekstelling nog steeds!
Maar wat gebeurt er als de buurman verhuist? tussen de vriend en de leraar? Nu is je buurman in de kleine boog, de relatief kleine afstand tussen de vriend en de leraar in vergelijking met de grotere afstand rond de rest van de arena. Dan bereik je een uitzondering op de Centrale Hoekstelling.
De uitzondering op de centrale hoekstelling stelt dat wanneer punt C, de buur, binnen de kleine boog ligt, de ingeschreven hoek het supplement is van de halve middelpuntshoek. (Onthoud dat een hoek en zijn supplement optellen tot 180 graden.)
Zo: ingeschreven hoek = 180 - (centrale hoek ÷ 2)
Of: ∠ABC = 180 - (∠AOC ÷ 2)
visualiseren
Math Open Reference heeft een hulpmiddel om de centrale hoekstelling en zijn uitzondering te visualiseren. Je mag de "buurman" naar alle verschillende delen van de cirkel slepen en de hoeken zien veranderen. Probeer het als je een visuele of extra oefening wilt!