Hoe lineaire ongelijkheden op te lossen?

Stel dat u boodschappen moet doen en dat u een beperkt budget heeft. Je wilt pasta en brood kopen voor een grote groep, maar je kunt niet meer dan twintig dollar uitgeven. In theorie zou je alleen brood kunnen kopen en geen pasta, of veel brood en maar één doos pasta. Hoeveel verschillende combinaties van pastadozen en broden zou je kunnen kopen? En hoe kunt u het meeste uit elk voor uw geld halen?

Dit soort problemen worden genoemdlineaire ongelijkheden: vergelijkingen waarvan de grafiek een lijn is, maar in plaats van het isgelijkteken te gebruiken, gebruiken ze ongelijkheidssymbolen zoals > of <.>

TL; DR (te lang; niet gelezen)

Om een ​​lineaire ongelijkheid op te lossen, moet je alle combinaties van vindenXenjadie de ongelijkheid waar maken. U kunt lineaire ongelijkheden oplossen met behulp van algebra of door grafieken te maken.

​Naar​ ​een lineaire ongelijkheid oplossen(of een andere vergelijking), je moet alle combinaties van vindenXenjadie die vergelijking waar maken.

U kunt lineaire ongelijkheden algebraïsch oplossen of u kunt de oplossingen weergeven in een grafiek (of beide!). Laten we samen enkele voorbeeldproblemen doornemen.

Dit proces isbijnahetzelfde als het oplossen van een lineaire vergelijking, maar met een belangrijke uitzondering. Bekijk hieronder het probleem.

Haal eerst alleX-es aan dezelfde kant van het "groter dan"-teken. ToevoegenXaan beide kanten om deXaan de rechterkant en hebben alleenXaan je linker kant.

Voeg nu zes toe aan beide kanten:

Tot nu toe is dit precies hetzelfde geweest als elke lineaire vergelijking. Maar nu gaat er iets veranderen!Wanneer je beide zijden van een ongelijkheid deelt door een negatief getal, moet je de richting van het ongelijkheidssymbool veranderen​.

Dus voor −3X> 18, we gaan beide zijden delen door −3, en dan gaan we het > teken omdraaien naar een < teken.

Hoe zit het met grafieken? Nogmaals, het proces lijkt erg op lineaire vergelijkingen, maar er is een belangrijk verschil. Aangezien je moet aangevenallevan de combinaties vanXenjadie een ongelijkheid waar maken, ga je de lijn tekenen zoals gewoonlijk en dan ga je schaduw geven in het gedeelte van de grafiek dat je de rest van de mogelijke oplossingen geeft.

Hoe zou je bijvoorbeeld de ongelijkheid in een grafiek zetten?ja​ < 3​X​ + 6?

Ten eerste zou je merken dat de ongelijkheid inhelling-onderscheppingsvorm, wat betekent dat we de kunnen gebruikenja-snijpunt en de helling om de lijn snel in kaart te brengen.

Deja-snijpunt is 6, dus teken een punt bij (0, 6), gebruik dan het feit dat de helling 3 is om drie eenheden omhoog te gaan en één eenheid naar rechts, en teken dan een punt. Uw punt moet bij (1, 9) zijn. Om een ​​lijn netjes en mooi te maken, is het fijn om drie punten te krijgen, dus teken nog een punt door te beginnen bij (1, 9) en drie omhoog te gaan, weer één. Je krijgt een punt bij (2, 12). Trek nu een lijn door de punten te verbinden.

Super goed! Je hebt zojuist de gelijkheid in kaart gebrachtja​ = 3​X+ 6, maar onthoud dat de oorspronkelijke vergelijking isja​ < 3​X+ 6. Gebruik deze eenvoudige truc om het juiste deel van de grafiek te verduisteren:wanneer de ongelijkheid in de vorm van een helling-onderschepping is, als ujaja>, dan schaduw in alles boven de lijn.​

Maar dubbelcheck voor de zekerheid! Wanneer u een heel gedeelte van de grafiek arceert, betekent dit dat elk van die punten de vergelijking waar moet maken. Pak een willekeurig punt dat je hebt gearceerd en sluit aanXenjain de oorspronkelijke ongelijkheid. Als het werkt, ben je klaar om te gaan. Als dit niet het geval is, moet u uw grafieken en/of uw algebra nogmaals controleren.

Nog een ding:als je > of < hebt, moet de lijn op de grafiek worden gestippeld! Wanneer de ongelijkheid ≥ of. gebruikt​ ≤, ​de lijn moet vast zijn.Dit geeft aan of de punten op de lijn zelf al dan niet in de oplossing zijn opgenomen.

Het oplossen van een stelsel van lineaire ongelijkheden lijkt sterk op het oplossen van stelsels van vergelijkingen.Grafiekenis de gemakkelijkste manier om lineaire ongelijkheden op te lossen.

Om een ​​stelsel van lineaire ongelijkheden in een grafiek uit te tekenen, tekent u uw eerste ongelijkheid zoals u hierboven deed en schaduwt u de gebieden boven of onder uw lijn. Teken vervolgens de tweede ongelijkheid. Nogmaals, je gaat alle secties van de grafiek die de ongelijkheid waar maken, arceren. Meestal is er één gebied in de grafiek dat je twee keer hebt gearceerd! Dit is deoplossingaan het systeem van ongelijkheden, omdat hethet gedeelte van de grafiek waar beide ongelijkheden waar zijn​.