In de wiskunde ontstaat soms de behoefte om te bewijzen of functies in lineaire zin afhankelijk of onafhankelijk van elkaar zijn. Als u twee functies hebt die lineair afhankelijk zijn, resulteert het plotten van de vergelijkingen van die functies in punten die elkaar overlappen. Functies met onafhankelijke vergelijkingen overlappen elkaar niet wanneer ze worden geplot. Een methode om te bepalen of functies afhankelijk of onafhankelijk zijn, is door de Wronskian voor de functies te berekenen.
Wat is een Wronskiaan?
De Wronskian van twee of meer functies is een zogenaamde determinant, een speciale functie die wordt gebruikt om wiskundige objecten te vergelijken en bepaalde feiten daarover te bewijzen. In het geval van de Wronskiaan wordt de determinant gebruikt om de afhankelijkheid of onafhankelijkheid tussen twee of meer lineaire functies te bewijzen.
De Wronskiaanse matrix
Om de Wronskian voor lineaire functies te berekenen, moeten de functies worden opgelost voor dezelfde waarde binnen een matrix die zowel de functies als hun afgeleiden bevat. Een voorbeeld hiervan is
W(f, g)(t)=\begin{vmatrix} f (t) & g (t) \\ f'(t) & g'(t) \end{vmatrix}
die de Wronskian voor twee functies levert (feng) die worden opgelost voor een enkele waarde die groter is dan nul (t); je kunt de twee functies zienf(t) eng(t) in de bovenste rij van de matrix, en de afgeleidenf'(t) eng'(t) in de onderste rij. Merk op dat de Wronskian ook voor grotere sets kan worden gebruikt. Als je bijvoorbeeld drie functies test met een Wronskian, dan zou je een matrix kunnen vullen met de functies en afgeleiden vanf(t), g(t) enh(t).
De Wronskiaan oplossen
Zodra u de functies in een matrix hebt gerangschikt, vermenigvuldigt u elke functie kruiselings met de afgeleide van de andere functie en trekt u de eerste waarde van de tweede af. Voor het bovenstaande voorbeeld geeft dit u:
W(f, g)(t) = f (t) g'(t) - g (t) f'(t)
Als het uiteindelijke antwoord gelijk is aan nul, toont dit aan dat de twee functies afhankelijk zijn. Als het antwoord iets anders is dan nul, zijn de functies onafhankelijk.
Wronskiaans voorbeeld
Om u een beter idee te geven van hoe dit werkt, gaat u ervan uit dat:
f (t) = x + 3 \tekst{ en } g (t) = x - 2
Een waarde van. gebruikent= 1, je kunt de functies oplossen als
f (1) = 4 \tekst{ en } g (1) = -1
Aangezien dit lineaire basisfuncties zijn met een helling van 1, zijn de afgeleiden van beidef(t) eng(t) gelijk 1. Kruisvermenigvuldiging van uw waarden geeft aan
W(f, g)(1) = (4 + 1) - (-1 + 1)
wat een eindresultaat van 5 oplevert. Hoewel de lineaire functies beide dezelfde helling hebben, zijn ze onafhankelijk omdat hun punten elkaar niet overlappen. Alsf(t) een resultaat van −1 in plaats van 4 had geproduceerd, zou de Wronskian in plaats daarvan een resultaat van nul hebben gegeven om afhankelijkheid aan te geven.