Niets verpest een vergelijking zo goed als logaritmen. Ze zijn omslachtig, moeilijk te manipuleren en een beetje mysterieus voor sommige mensen. Gelukkig is er een gemakkelijke manier om je vergelijking te ontdoen van deze vervelende wiskundige uitdrukkingen. Het enige wat je hoeft te doen is onthouden dat een logaritme de inverse is van een exponent. Hoewel het grondtal van een logaritme elk willekeurig getal kan zijn, zijn de meest gebruikte grondtalen in de wetenschap 10 en e, een irrationeel getal dat bekend staat als het getal van Euler. Om ze te onderscheiden, gebruiken wiskundigen "log" wanneer het grondtal 10 is en "ln" wanneer het grondtal e is.
TL; DR (te lang; niet gelezen)
Om een vergelijking van logaritmen te verwijderen, verhef je beide zijden tot dezelfde exponent als het grondtal van de logaritmen. Verzamel in vergelijkingen met gemengde termen alle logaritmen aan één kant en vereenvoudig eerst.
Wat is een logaritme?
Het concept van een logaritme is eenvoudig, maar het is een beetje moeilijk onder woorden te brengen. Een logaritme is het aantal keren dat je een getal met zichzelf moet vermenigvuldigen om een ander getal te krijgen. Een andere manier om het te zeggen is dat een logaritme de macht is waartoe een bepaald getal - de basis genoemd - moet worden verhoogd om een ander getal te krijgen. De macht wordt het argument van de logaritme genoemd.
Bijvoorbeeld, log82 = 64 betekent simpelweg dat het verhogen van 8 tot de macht van 2 64 geeft. In het vergelijkingslogboek X = 100, de basis wordt geacht 10 te zijn, en je kunt het argument gemakkelijk oplossen, X omdat het de vraag beantwoordt, "10 verhoogd tot welke macht is gelijk aan 100?" Het antwoord is 2.
Een logaritme is de inverse van een exponent. Het vergelijkingslog X = 100 is een andere manier om 10_ te schrijvenX_ = 100. Deze relatie maakt het mogelijk om logaritmen uit een vergelijking te verwijderen door beide zijden te verheffen tot dezelfde exponent als het grondtal van de logaritme. Als de vergelijking meer dan één logaritme bevat, moeten ze dezelfde basis hebben om dit te laten werken.
Voorbeelden
In het eenvoudigste geval is de logaritme van een onbekend getal gelijk aan een ander getal:
\log x = y
Verhoog beide zijden tot exponenten van 10, en je krijgt
10^ {\log x} = 10^y
sinds 10(log x) is eenvoudig X, de vergelijking wordt
x = 10^y
Wanneer alle termen in de vergelijking logaritmen zijn, levert het verhogen van beide zijden naar een exponent een standaard algebraïsche uitdrukking op. Verhoog bijvoorbeeld
\log (x^2 - 1) = \log (x + 1)
tot een macht van 10 en je krijgt:
x^2 - 1 = x + 1
wat vereenvoudigt om
x^2 - x - 2 = 0.
De oplossingen zijn: X = −2; X = 1.
In vergelijkingen die een mengsel van logaritmen en andere algebraïsche termen bevatten, is het belangrijk om alle logaritmen aan één kant van de vergelijking te verzamelen. U kunt dan termen optellen of aftrekken. Volgens de wet van logaritmen is het volgende waar:
\log x + \log y = \log (xy) \\ \,\\ \log x - \log y = \log \bigg(\frac{x}{y}\bigg)
Hier is een procedure voor het oplossen van een vergelijking met gemengde termen:
Begin met de vergelijking: Bijvoorbeeld
\log x = \log (x - 2) + 3
Herschik de termen:
\log x - \log (x - 2) = 3
Pas de wet van logaritmen toe:
\log \bigg(\frac{x}{x-2}\bigg) = 3
Verhoog beide kanten tot een macht van 10:
\bigg(\frac{x}{x-2}\bigg) = 10^3
Oplossen voor X:
\bigg(\frac{x}{x-2}\bigg) = 10^3 \\ x = 1000x - 2000 \\ -999x = -2000 \\ x = \frac{2000}{999}=2.002