Wat zijn echte getallen?

De reële getallen zijn alle getallen op een getallenlijn die loopt van negatief oneindig via nul tot positief oneindig. Deze constructie van de verzameling reële getallen is niet willekeurig, maar het resultaat van een evolutie van de natuurlijke getallen die voor het tellen worden gebruikt. Het systeem van natuurlijke getallen heeft verschillende inconsistenties, en naarmate de berekeningen complexer werden, breidde het getallensysteem zich uit om de beperkingen aan te pakken. Met reële getallen geven berekeningen consistente resultaten, en er zijn weinig uitzonderingen of beperkingen zoals die aanwezig waren bij de meer primitieve versies van het getallenstelsel.

TL; DR (te lang; niet gelezen)

De verzameling reële getallen bestaat uit alle getallen op een getallenlijn. Dit omvat natuurlijke getallen, gehele getallen, gehele getallen, rationale getallen en irrationele getallen. Het bevat geen denkbeeldige getallen of complexe getallen.

Sluiting is de eigenschap van een reeks getallen, wat betekent dat als toegestane berekeningen worden uitgevoerd op getallen die lid zijn van de reeks, de antwoorden ook getallen zijn die lid zijn van de reeks. De set zou gesloten zijn.

Natuurlijke getallen zijn de telgetallen, 1, 2, 3..., en de verzameling natuurlijke getallen is niet gesloten. Omdat natuurlijke getallen in de handel werden gebruikt, deden zich onmiddellijk twee problemen voor. Terwijl de natuurlijke getallen echte objecten telden, bijvoorbeeld koeien, was er geen natuurlijk getal voor het resultaat als een boer vijf koeien had en vijf koeien verkocht. Vroege nummersystemen ontwikkelden zeer snel een term voor nul om dit probleem aan te pakken. Het resultaat was het stelsel van gehele getallen, de natuurlijke getallen plus nul.

Het tweede probleem hield ook verband met aftrekken. Zolang getallen echte objecten zoals koeien telden, kon de boer niet meer koeien verkopen dan hij had. Maar toen getallen abstract werden, gaf het aftrekken van grotere getallen van kleinere antwoorden buiten het systeem van gehele getallen. Als gevolg hiervan werden gehele getallen geïntroduceerd, die de gehele getallen plus negatieve natuurlijke getallen zijn. Het getallenstelsel omvatte nu een volledige getallenlijn, maar alleen met gehele getallen.

Berekeningen in een gesloten nummerstelsel moeten antwoorden geven vanuit het nummerstelsel voor: bewerkingen zoals optellen en vermenigvuldigen, maar ook voor hun inverse bewerkingen, aftrekken en divisie. Het stelsel van gehele getallen is gesloten voor optellen, aftrekken en vermenigvuldigen, maar niet voor delen. Als een geheel getal wordt gedeeld door een ander geheel getal, is het resultaat niet altijd een geheel getal.

Een klein geheel getal delen door een grotere geeft een breuk. Dergelijke breuken werden als rationale getallen aan het getallenstelsel toegevoegd. Rationele getallen worden gedefinieerd als elk getal dat kan worden uitgedrukt als een verhouding van twee gehele getallen. Elk willekeurig decimaal getal kan worden uitgedrukt als een rationaal getal. Bijvoorbeeld 2.864 is 2864/1000 en 0.89632 is 89632/100.000. De getallenlijn leek nu compleet.

Er zijn getallen op de getallenlijn die niet kunnen worden uitgedrukt als een breuk van gehele getallen. Een daarvan is de verhouding van de zijden van een rechthoekige driehoek tot de hypotenusa. Als twee van de zijden van een rechthoekige driehoek 1 en 1 zijn, is de hypotenusa de vierkantswortel van 2. De vierkantswortel van twee is een oneindig decimaal dat zich niet herhaalt. Dergelijke getallen worden irrationeel genoemd en omvatten alle reële getallen die niet rationeel zijn. Met deze definitie is de getallenlijn van alle reële getallen compleet omdat elk ander reëel getal dat niet rationaal is, is opgenomen in de definitie van irrationeel.

Hoewel gezegd wordt dat de reële getallenlijn zich uitstrekt van negatief naar positief oneindig, is oneindigheid zelf geen a reëel getal, maar eerder een concept van het getalsysteem dat het definieert als een hoeveelheid groter dan welke dan ook aantal. Wiskundig oneindig is het antwoord op 1/x als x nul bereikt, maar deling door nul is niet gedefinieerd. Als oneindigheid een getal zou zijn, zou dit tot tegenstrijdigheden leiden omdat oneindigheid niet de wetten van de rekenkunde volgt. Oneindig plus 1 is bijvoorbeeld nog steeds oneindig.

De verzameling reële getallen is gesloten voor optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen, behalve voor deling door nul, die niet is gedefinieerd. De set is niet gesloten voor ten minste één andere bewerking.

De vermenigvuldigingsregels in de verzameling reële getallen specificeren dat de vermenigvuldiging van een negatief en a positief getal geeft een negatief getal, terwijl de vermenigvuldiging van positieve of negatieve getallen positief geeft antwoorden. Dit betekent dat het speciale geval van het vermenigvuldigen van een getal op zichzelf een positief getal oplevert voor zowel positieve als negatieve getallen. De inverse van dit speciale geval is de vierkantswortel van een positief getal, dat zowel een positief als een negatief antwoord geeft. Voor de vierkantswortel van een negatief getal is er geen antwoord in de verzameling reële getallen.

Het concept van de verzameling denkbeeldige getallen behandelt de kwestie van negatieve vierkantswortels in de reële getallen. De vierkantswortel van min 1 wordt gedefinieerd als i en alle denkbeeldige getallen zijn veelvouden van i. Om de getaltheorie te voltooien, wordt de verzameling complexe getallen gedefinieerd als alle reële en alle denkbeeldige getallen. Reële getallen kunnen verder worden gevisualiseerd op een horizontale getallenlijn, terwijl denkbeeldige getallen een verticale getallenlijn zijn, waarbij de twee elkaar snijden op nul. Complexe getallen zijn punten in het vlak van de twee getallenlijnen, elk met een reële en een imaginaire component.