Rotatie kinetische energiebeschrijft de bewegingsenergie die het gevolg is van de rotatie of cirkelvormige beweging van een object. Herhaal datlineaire kinetische energievan een massammet snelheid bewegenvwordt gegeven door 1/2mv2. Dit is een eenvoudige berekening voor elk object dat in een rechte lijn beweegt. Het is van toepassing op het massamiddelpunt van het object, waardoor het object kan worden benaderd als een puntmassa.
Als we nu de kinetische energie willen beschrijven van een uitgebreid object dat een complexere beweging ondergaat, wordt de berekening lastiger.
We zouden opeenvolgende benaderingen kunnen maken door het uitgebreide object op te splitsen in kleine stukjes, die elk kunnen worden benaderd als een puntmassa, en bereken vervolgens de lineaire kinetische energie voor elke puntmassa afzonderlijk, en tel ze allemaal op om het totaal voor de voorwerp. Hoe kleiner we het object opsplitsen, hoe beter de benadering. In de limiet waar de stukjes oneindig klein worden, kan dit worden gedaan met calculus.
Maar we hebben geluk! Als het gaat om roterende beweging, is er een vereenvoudiging. Als we voor een roterend object de massaverdeling om de rotatie-as beschrijven in termen van het traagheidsmoment,ik, kunnen we dan een eenvoudige rotatiekinetische energievergelijking gebruiken, die later in dit artikel wordt besproken.
Traagheidsmoment
Traagheidsmomentis een maat voor hoe moeilijk het is om een object zijn rotatiebeweging om een bepaalde as te laten veranderen. Het traagheidsmoment voor een roterend object hangt niet alleen af van de massa van het object, maar ook van hoe die massa is verdeeld over de rotatie-as. Hoe verder weg van de as waar de massa is verdeeld, hoe moeilijker het is om de rotatiebeweging te veranderen, en dus hoe groter het traagheidsmoment.
De SI-eenheden voor het traagheidsmoment zijn kgm2 (wat consistent is met ons idee dat het afhangt van de massa en van de afstand tot de rotatie-as). De traagheidsmomenten voor verschillende objecten kunnen worden gevonden in een tabel of uit calculus.
Tips
Het traagheidsmoment voor elk object kan worden gevonden met behulp van calculus en de formule voor het traagheidsmoment van een puntmassa.
Rotatiekinetische energievergelijking Equ
De formule voor rotatiekinetische energie wordt gegeven door:
KE_{rot} = \frac{1}{2}I\omega^2
Waarikis het traagheidsmoment van het object enωis de hoeksnelheid van het object in radialen per seconde (rad/s). De SI-eenheid voor kinetische rotatie-energie is de joule (J).
De vorm van de formule voor rotatiekinetische energie is analoog aan de vergelijking voor translatiekinetische energie; traagheidsmoment speelt de rol van massa en hoeksnelheid vervangt lineaire snelheid. Merk op dat de vergelijking van de rotatiekinetische energie hetzelfde resultaat geeft voor een puntmassa als de lineaire vergelijking.
Als we ons een puntmassa voorstellenmbewegen in een cirkel met een straalrmet snelheidv, dan is zijn hoeksnelheid ω = v/r en is zijn traagheidsmoment mr2. Beide kinetische energievergelijkingen geven hetzelfde resultaat, zoals verwacht:
KE_{rot} = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}(mr^2)(v/r)^2=\frac{1}{2}\frac {m\cancel{r^2}v^2}{\cancel{r^2}} = \frac{1}{2}mv^2 = KE_{lin}
Als een object zowel roteert als het zwaartepunt beweegt langs een rechte lijn (zoals bijvoorbeeld gebeurt met een rollende band), dan is detotale kinetische energieis de som van de roterende kinetische energie en de translationele kinetische energieën:
KE_{tot} = KE_{rot}+KE_{lin} = \frac{1}{2}I\omega^2+\frac{1}{2}mv^2
Voorbeelden met behulp van de rotatiekinetische energieformule
De formule voor rotatiekinetische energie heeft vele toepassingen. Het kan worden gebruikt om de eenvoudige kinetische energie van een draaiend object te berekenen, om de kinetische energie van. te berekenen een rollend object (een object dat zowel een rotatie- als een translatiebeweging ondergaat) en om op te lossen voor andere onbekenden. Beschouw de volgende drie voorbeelden:
Voorbeeld 1:De aarde draait ongeveer eens per 24 uur om zijn as. Als we aannemen dat het een uniforme dichtheid heeft, wat is dan de kinetische rotatie-energie? (De straal van de aarde is 6,37 × 106 m, en de massa is 5,97 × 1024 kg.)
Om de rotatiekinetische energie te vinden, moeten we eerst het traagheidsmoment vinden. Door de aarde als een vaste bol te benaderen, krijgen we:
I = \frac{2}{5}mr^2 = \frac{2}{5}(5.97\times10^{24}\text{ kg})(6.37\times10^6\text{ m})^2 = 9.69\times10^{37}\text{ kgm}^2
De hoeksnelheid is 2π radialen/dag. Dit omzetten naar rad/s geeft:
2\pi\frac{\text{radialen}}{\cancel{\text{day}}}\frac{1\cancel{\text{ day}}}{86400\text{ seconds}} = 7.27\times10^ {-5} \tekst{ rad/s}
Dus de roterende kinetische energie van de aarde is dan:
KE_{rot} = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}(9.69\times10^{37}\text{ kgm}^2)(7.27\times10^{- 5}\text{ rad/s})^2 = 2,56\times 10^{29}\text{ J}
Leuk weetje: dit is meer dan 10 keer de totale energie die de zon in een minuut uitstraalt!
Voorbeeld 2:Een uniforme cilinder met een massa van 0,75 kg en een straal van 0,1 m rolt met een constante snelheid van 4 m/s over de vloer. Wat is zijn kinetische energie?
De totale kinetische energie wordt gegeven door:
KE_{tot} = \frac{1}{2}I\omega^2 + \frac{1}{2}mv^2
In dit geval I = 1/2 mr2 is het traagheidsmoment voor een massieve cilinder, enωis gerelateerd aan de lineaire snelheid via ω = v/r.
Het vereenvoudigen van de uitdrukking voor totale kinetische energie en het inpluggen van waarden geeft:
KE_{tot} = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mr^2)(v/r)^2 + \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1 }{4}mv^2 + \frac{1}{2}mv^2 = \frac{3}{4}mv^2\\ = \frac{3}{4}(0.75\text{ kg}) (4\tekst{ m/s}) = 2,25\tekst{ J}
Merk op dat we de straal niet eens hoefden te gebruiken! Het viel weg vanwege de directe relatie tussen rotatiesnelheid en lineaire snelheid.
Voorbeeld 3:Een student op een fiets zoeft vanuit rust een heuvel af. Als de verticale hoogte van de heuvel 30 m is, hoe snel gaat de leerling dan onderaan de heuvel? Stel dat de fiets 8 kg weegt, de berijder 50 kg, elk wiel 2,2 kg weegt (inbegrepen in het fietsgewicht) en elk wiel een diameter heeft van 0,7 m. Benader de wielen als hoepels en neem aan dat wrijving verwaarloosbaar is.
Hier kunnen we mechanische energiebesparing gebruiken om de uiteindelijke snelheid te vinden. De potentiële energie bovenaan de heuvel wordt onderaan omgezet in kinetische energie. Die kinetische energie is de som van de kinetische translatie-energie van het hele persoon + fietssysteem en de kinetische rotatie-energieën van de banden.
Totale energie van het systeem:
E_{tot} = PE_{top} = mgh = (50\text{ kg} + 8\text{ kg})(9.8\text{ m/s}^2)(30\text{ m}) = 17.052\ tekst{ J}
De formule voor totale energie in termen van kinetische energieën onderaan de heuvel is:
E_{tot} = KE_{bottom} = \frac{1}{2}I_{tires}\omega^2 + \frac{1}{2}m_{tot}v^2\\ = \frac{1} {2}(2\times m_{band} \times r_{tire}^2)(v/r_{tire})^2 + \frac{1}{2}m_{tot}v^2\\ = m_{tire}v^2 + \frac{1}{ 2}m_{tot}v^2\\ = (m_{band} + \frac{1}{2}m_{tot})v^2
Oplossen voorvgeeft:
v = \sqrt{\frac{E_{tot}}{m_{band} + \frac{1}{2}m_{tot}}}
Eindelijk, als we cijfers inpluggen, krijgen we ons antwoord:
v = \sqrt{\frac{17.052\text{ J}}{2.2\text{ kg} + \frac{1}{2}58\text{ kg}}} = 23,4 \text{ m/s}