Het product van twee scalaire grootheden is een scalair, en het product van een scalaire met een vector is een vector, maar hoe zit het met het product van twee vectoren? Is het een scalaire of een andere vector? Het antwoord is: het kan allebei!
Er zijn twee manieren om vectoren met elkaar te vermenigvuldigen. De ene is door hun puntproduct te nemen, wat een scalair oplevert, en de andere is door hun kruisproduct te nemen, wat een andere vector oplevert. Welk product u moet gebruiken, hangt af van het specifieke scenario en de hoeveelheid die u probeert te vinden.
Depunt productwordt soms aangeduid als descalair productofinproduct. Geometrisch kun je het puntproduct tussen twee vectoren zien als een manier om de vectorwaarden te vermenigvuldigen die alleen bijdragen in dezelfde richting tellen.
- Opmerking: Dot-producten kunnen negatief of positief zijn, maar dat teken is geen indicatie van de richting. Hoewel vectorrichting in één dimensie vaak wordt aangegeven met een teken, kunnen scalaire grootheden ook tekens hebben die geen richtingaanwijzers zijn. Schulden zijn daar slechts een van de vele voorbeelden van.
Definitie van het puntproduct
Het puntproduct van vectoreneen = (aX, eenja)enb = (bX, bja)in een standaard Cartesiaans coördinatenstelsel wordt als volgt gedefinieerd:
\bold{a\cdot b} = a_xb_x + a_yb_y
Wanneer je het puntproduct van een vector met zichzelf neemt, ontstaat er een interessante relatie:
\bold{a\cdot a} = a_xa_x + a_ya_y = |\bold{a}|^2
Waar |een| is de grootte (lengte) vaneendoor de stelling van Pythagoras.
Een andere puntproductformule kan worden afgeleid met behulp van de cosinusregel. Dit gebeurt als volgt:
Overweeg vectoren die niet nul zijneenenbsamen met hun verschilvectora - b. Rangschik de drie vectoren om een driehoek te vormen.
De cosinusregel uit trigonometrie vertelt ons dat:
|\bold{ab}|^2 = |\bold{a}|^2 + |\bold{b}|^2 - 2|\bold{a}||\bold{b}|\cos(\theta )
En met behulp van de definitie van het puntproduct krijgen we:
|\bold{ab}|^2 = (\bold{ab})\cdot (\bold{ab}) = (a_x-b_X)^2 + (a_y-b_y)^2\\ = (a_x)^2 + (b_x)^2 - 2a_xb_x + (a_y)^2 + (b_y)^2 - 2a_yb_y\\ = |\bold{a}|^2 + |\bold{b}|^2 - 2\bold{a \cdot b}
Door beide uitdrukkingen gelijk te stellen en vervolgens te vereenvoudigen, krijgen we:
\cancel{|\bold{a}|^2} + \cancel{|\bold{b}|^2} - 2\bold{a \cdot b} = \cancel{|\bold{a}|^2 } + \annuleren{|\bold{b}|^2} - 2|\bold{a}||\bold{b}|\cos(\theta)\\\text{ }\\\implies \boxed{\bold{a \cdot b} = |\bold{a} ||\vet{b}|\cos(\theta)}
Deze formulering zorgt ervoor dat onze geometrische intuïtie in het spel komt. De hoeveelheid |een|cos (θ) is de grootte van de projectie van vectoreenop vectorb.
We kunnen het puntproduct dus zien als de projectie van de ene vector op de andere, en dan het product van hun waarden. Met andere woorden, het kan worden gezien als het product van de ene vector met de hoeveelheid van de andere vector in dezelfde richting als zichzelf.
Eigenschappen van het Dot-product
Hier volgen enkele eigenschappen van het puntproduct die u mogelijk nuttig vindt:
\#\tekst{1. Als } \theta = 0\text{, dan } \bold{a \cdot b} = |\bold{a}||\bold{b}|
Dit komt omdat cos (0) = 1.
\#\tekst{2. Als } \theta = 180\text{, dan }\bold{a \cdot b} = -|\bold{a}||\bold{b}|
Dit komt omdat cos (180) = -1.
\#\tekst{3. Als } \theta = 90\text{, dan } \bold{a \cdot b} = 0
Dit komt omdat cos (90) = 0.
- Opmerking: voor 0 <
θ
< 90, het puntproduct zal positief zijn, en voor 90 <
θ
< 180, het puntproduct zal negatief zijn.
\#\tekst{4. } \bold{a\cdot b} = \bold{b\cdot a}
Dit volgt uit het toepassen van de commutatieve wet op de puntproductdefinitie.
\#\tekst{5. } \bold{a\cdot (b+c)} = \bold{a\cdot b} + \bold{a\cdot c}
Bewijs:
\bold{a\cdot (b+c)} = \bold{a}\cdot (b_x + c_x, b_y + c_y) \\ =a_x (b_x + c_x) + a_y (b_y + c_y)\\ = a_xb_x + a_xc_x + a_yb_y + a_yc_y \\ = (a_xb_x + a_yb_y) + (a_xc_x + a_yc_y)\\ = \bold{a\cdot b} + \vet{a\cdot c}
\#\tekst{6. } c(\bold{a\cdot b}) = (c\bold{a})\cdot \bold{b}
Bewijs:
c(\bold{a\cdot b}) = c (a_xb_x + a_yb_y)\\ = ca_xb_x + ca_yb_y\\ = (ca_x) b_x + (ca_y) b_y\\ = (c\bold{a})\cdot \ vet{b}
Hoe het puntproduct te vinden
Voorbeeld 1:In de natuurkunde: arbeid verricht door een krachtFop een object terwijl het een verplaatsing ondergaatd, is gedefinieerd als:
W=\bold{F}\cdot \bold{d} = |\bold{F}||\bold{d}|\cos(\theta)
Waarbij θ de hoek is tussen de krachtvector en de verplaatsingsvector.
De hoeveelheid arbeid die door een kracht wordt verricht, is een indicatie van hoeveel die kracht heeft bijgedragen aan de verplaatsing. Als de kracht in dezelfde richting is als de verplaatsing (cos (θ) = 0), levert deze zijn maximale bijdrage. Als het loodrecht staat op de verplaatsing (cos(Ѳ) = 90), levert het helemaal geen bijdrage. En als het tegengesteld is aan de verplaatsing, (cos (θ) = 180), levert het een negatieve bijdrage.
Stel dat een kind een speelgoedtrein over een spoor duwt door een kracht van 5 N uit te oefenen onder een hoek van 25 graden ten opzichte van de lijn van het spoor. Hoeveel werk doet het kind in de trein als ze hem 0,5 m verplaatst?
Oplossing:
F = 5 \text{ N}\\ d = 0.5\text{ m}\\ \theta = 25\graden\\
Met behulp van de puntproductdefinitie van werk en het inpluggen van waarden krijgen we dan:
W = Fd\cos(\theta) = 5\times0.5\times\cos (25) = \boxed{2.27\text{ J}}
Uit dit concrete voorbeeld moet nog duidelijker worden dat het uitoefenen van een kracht loodrecht op de verplaatsingsrichting niet werkt. Als het kind de trein in een rechte hoek op het spoor duwt, zal de trein niet vooruit of achteruit langs het spoor rijden. Het is ook intuïtief dat het werk van het kind in de trein zal toenemen naarmate de hoek kleiner wordt en de kracht en verplaatsing dichter bij uitlijning komen.
Voorbeeld 2:Vermogen is een ander voorbeeld van een fysieke hoeveelheid die kan worden berekend met behulp van een puntproduct. In de natuurkunde is macht gelijk aan werk gedeeld door tijd, maar het kan ook worden geschreven als het puntproduct van kracht en snelheid, zoals weergegeven:
P = \frac{W}{t} = \frac{\bold{F\cdot d}}{t} = \bold{F}\cdot \frac{\bold{d}}{t} = \bold{ F\cdot v}
Waarvsnelheid is.
Beschouw het vorige voorbeeld van het kind dat met de trein speelt. Als ons in plaats daarvan wordt verteld dat dezelfde kracht wordt uitgeoefend waardoor de trein met 2 m/s langs het spoor beweegt, dan kunnen we het puntproduct gebruiken om de kracht te vinden:
P = \bold{F\cdot v} = Fv\cos(\theta) = 5\times2\times\cos (25) = 9.06\text{ Watts}
Voorbeeld 3:Een ander voorbeeld waarbij puntproducten in de natuurkunde worden gebruikt, is in het geval van magnetische flux. Magnetische flux is de hoeveelheid magnetisch veld die door een bepaald gebied gaat. Het wordt gevonden als het puntproduct van het magnetische veldBmet het gebiedEEN. (De richting van een oppervlaktevector isnormaal, of loodrecht, op het oppervlak van het gebied.)
\Phi=\vet{B\cdot A}
Stel dat een veld van 0,02 Tesla door een draadlus met een straal van 10 cm gaat en een hoek van 30 graden maakt met de normaal. Wat is de stroom?
\Phi=\bold{B\cdot A} = BA\cos(\theta) = 0.02\times(\pi\times0.1^2)\times\cos (30) = 0.000544\text{ Wb}
Wanneer deze flux verandert, hetzij door de veldwaarde te wijzigen, het lusgebied te wijzigen of de hoek door de lus of veldbron te roteren, zal stroom in de lus worden geïnduceerd, waardoor elektriciteit!
Merk opnieuw op hoe de hoek op een intuïtieve manier relevant is. Als de hoek 90 graden was, zou dit betekenen dat het veld langs hetzelfde vlak als het gebied zou liggen en dat er geen veldlijnen door de lus zouden gaan, wat resulteert in geen flux. De hoeveelheid flux neemt dan toe naarmate de hoek tussen het veld en de normaal 0 wordt. Het puntproduct stelt ons in staat om te bepalen hoeveel van het veld zich in de richting loodrecht op het oppervlak bevindt en draagt dus bij aan de flux.
Vectorprojectie en het puntproduct
In eerdere paragrafen werd vermeld dat het puntproduct kan worden gezien als een manier om de ene vector op de andere te projecteren en vervolgens hun grootheden te vermenigvuldigen. Het is dan ook niet verwonderlijk dat uit het puntproduct een formule voor vectorprojectie kan worden afgeleid.
Om vector te projectereneenop vectorb, we nemen het puntproduct vaneenmet eeneenheid Vectorin de richting vanb, en vermenigvuldig dit scalaire resultaat vervolgens met dezelfde eenheidsvector.
Een eenheidsvector is een vector met lengte 1 die in een bepaalde richting ligt. De eenheidsvector in de richting van vectorbis gewoon vectorbgedeeld door de grootte:
\frac{\bold{b}}{|\bold{b}|}
Dus deze projectie is dan:
\text{Projectie van }\bold{a}\text{ op }\bold{b} = \Big(\bold{a}\cdot\frac{\bold{b}}{|\bold{b}|} \Big)\frac{\bold{b}}{|\bold{b}|} = \Big(\bold{a}\cdot\frac{\bold{b}}{|\bold{b}|^ 2}\Groot)\vet{b}
Het puntproduct in een hogere dimensie
Net zoals vectoren in een hogere dimensie bestaan, bestaat ook het puntproduct. Stel je het voorbeeld voor van het kind dat de trein weer duwt. Stel dat ze zowel naar beneden als schuin naar de zijkant van de baan duwt. In een standaard coördinatensysteem zouden de kracht- en verplaatsingsvectoren als driedimensionaal moeten worden weergegeven.
Inneeafmetingen, wordt het puntproduct als volgt gedefinieerd:
\bold{a\cdot b} = \overset{n}{\underset{i=1}{\sum }}a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 +...+ a_nb_n
Alle dezelfde puntproducteigenschappen van vroeger zijn nog steeds van toepassing, en de cosinusregel geeft opnieuw de relatie:
\bold{a \cdot b} = |\bold{a}||\bold{b}|\cos(\theta)
Waar de grootte van elke vector wordt gevonden via het volgende, opnieuw consistent met de stelling van Pythagoras:
|\bold{a}|=\sqrt{\bold{a\cdot a}}=\sqrt{(a_1)^2+(a_2)^2+...+(a_n)^2}
Hoe het Dot-product in drie dimensies te vinden
Voorbeeld 1:Het puntproduct is vooral handig bij het vinden van de hoek tussen twee vectoren. Stel dat we bijvoorbeeld de hoek willen bepalen tusseneen= (2, 3, 2) enb= (1, 4, 0). Zelfs als je die twee vectoren in 3-ruimte schetst, kan het erg moeilijk zijn om je hoofd om de geometrie te wikkelen. Maar de wiskunde is vrij eenvoudig, gebruikmakend van het feit dat:
\bold{a \cdot b}=|\bold{a}||\bold{b}|\cos(\theta)\\\implies \theta=\cos^{-1}\Big(\frac{\ vet{a\cdot b}}{|\bold{a}||\bold{b}|}\Big)
Bereken vervolgens het puntproduct vaneenenb:
\bold{a\cdot b}=2\times1+3\times4+2\times0=14
En het berekenen van de grootheden van elke vector:
|\bold{a}|=\sqrt{2^2+3^2+2^2}=\sqrt{17}=4.12\\|\bold{b}|=\sqrt{1^2+4^ 2+0^2}=\sqrt{17}=4.12
En als we uiteindelijk alles aansluiten, krijgen we:
\theta=\cos^{-1}\Big(\frac{\bold{a\cdot b}}{|\bold{a}||\bold{b}|}\Big)=\cos^{- 1}\Big(\frac{14}{4.12\times 4.12}\Big)=\boxed{34.4\degree}
Voorbeeld 2:Een positieve lading zit op het coördinaatpunt (3, 5, 4) in de driedimensionale ruimte. Op welk punt langs de lijn die in de richting van vector wijst?een= (6, 9, 5) is het elektrische veld het grootst?
Oplossing: uit onze kennis van hoe elektrische veldsterkte zich verhoudt tot afstand, weten we dat het punt op de lijn die het dichtst bij de positieve lading ligt, is de locatie waar het veld de zal zijn sterkste. Op basis van onze kennis van puntproducten kunnen we vermoeden dat het gebruik van de projectieformule hier zinvol is. Die formule zou ons een vector moeten geven waarvan de punt precies op het punt ligt dat we zoeken.
We moeten berekenen:
\text{Projectie van }(3, 5, 4)\text{ op }\bold{a}=\Big((3,5,4)\cdot\frac{\bold{a}}{|\bold{ a}|^2}\Big)\bold{a}
Om dit te doen, zoeken we eerst |een|2:
|\bold{a}|^2=6^2+9^2+5^2=142
Dan het puntproduct:
(3,5,4)\cdot (6,9,5)=3\times6+5\times9+4\times5=83
Dit delen door |een|2 geeft 83/142 = 0,585. Dan vermenigvuldigen we deze scalair meteengeeft:
0,585\vet{a}=0,585 \times (6,9,5)=(3.51,5.27,2.93)
Vandaar dat het punt langs de lijn waar het veld het sterkst is (3,51, 5,27, 2,93).