Een irrationeel getal is niet zo eng als het klinkt; het is gewoon een getal dat niet kan worden uitgedrukt als een eenvoudige breuk of, om het anders te zeggen, een irrationaal getal is een oneindig decimaal getal dat een oneindig aantal plaatsen voorbij de loopt decimale punt. Je kunt de meeste bewerkingen op irrationele getallen uitvoeren, net zoals je zou doen met rationale getallen, maar als het gaat om het nemen van vierkantswortels, zul je moeten leren de waarde te benaderen.
Wat is een irrationeel getal?
Dus wat is eigenlijk een irrationeel getal? Je bent misschien al bekend met twee zeer bekende irrationele getallen: " of "pi", die bijna altijd wordt afgekort als 3,14, maar in feite oneindig doorloopt tot rechts van de komma; en "e", ook wel het getal van Euler genoemd, dat gewoonlijk wordt afgekort als 2,71828, maar ook oneindig doorloopt tot rechts van de komma.
Maar er zijn nog veel meer irrationele getallen, en hier is een gemakkelijke manier om er een paar te herkennen: het getal onder een vierkantswortelteken geen perfect vierkant is, dan is die vierkantswortel een irrationeel aantal.
Dat is een hele mondvol, dus hier is een voorbeeld om het duidelijk te maken. Het helpt ook om te onthouden dat een perfect vierkant een getal is waarvan de vierkantswortel een geheel getal is:
Is √8 een irrationeel getal?Als je je perfecte vierkanten hebt onthouden of de tijd hebt genomen om ze op te zoeken, weet je dat
\sqrt{4} = 2 \text{ en } \sqrt{9} = 3
Omdat √8 tussen die twee getallen ligt, maar er geen geheel getal tussen 2 en 3 is om de wortel te zijn, is √8 irrationeel.
De vierkantswortel van een irrationeel getal nemen
Als het gaat om het berekenen van de vierkantswortel van een irrationeel getal, heb je twee keuzes. Plaats het irrationele getal in een rekenmachine of een online vierkantswortelcalculator (zie bronnen), in welk geval de rekenmachine geeft een geschatte waarde voor u terug - of u kunt een proces in vier stappen gebruiken om de waarde te schatten jezelf.
Voorbeeld 1:Schat de waarde van het irrationele getal √8.
Vind de perfecte vierkanten aan weerszijden van √8 op de getallenlijn. In dit geval is √4 = 2 en √9 = 3. Kies degene die het dichtst bij uw doelnummer ligt. Aangezien 8 veel dichter bij 9 ligt dan bij 4, kiest u
\sqrt{9} = 3
Deel vervolgens het getal waarvan je de wortel wilt - 8 - door je schatting. Als je het voorbeeld voortzet, heb je:
\frac{8}{3} = 2.67
Zoek nu het gemiddelde van het resultaat uit stap 2 met de deler uit stap 2. Hier betekent dat gemiddeld 3 en 2,67. Tel de twee getallen eerst bij elkaar op en deel ze dan door twee:
3 + 2.67 = 5.6667
(Dit is eigenlijk de herhalende decimaal 5.6666666666, maar het is afgerond op vier decimalen omwille van de beknoptheid.)
\frac{5.6667}{2} = 2.83335
Het resultaat van stap 3 is nog steeds niet exact, maar het komt steeds dichterbij. Herhaal stap 2 en 3 indien nodig, waarbij u telkens het resultaat van stap 3 als de nieuwe deler in stap 2 gebruikt.
Om door te gaan met het voorbeeld, zou u 8 delen door het resultaat van stap 3 (2,83335), wat u het volgende geeft:
\frac{8}{2.83335} = 2.8235
(Nogmaals, voor de beknoptheid afgerond op vier decimalen.)
Je zou dan het resultaat van je deling gemiddeld met de deler, wat je geeft:
2.83335 + 2.8235 = 5.65685 \\ \,\\ \frac{5.65685}{2} = 2.828425
U kunt doorgaan met dit proces, waarbij u stap 2 en 3 indien nodig herhaalt, totdat het antwoord zo exact is als u wilt.
Hoe zit het met irrationele vierkantswortels?
Soms moet je, in plaats van de vierkantswortel van een irrationeel getal te vinden, omgaan met irrationele getallen die worden uitgedrukt in vierkantswortel - een van de meest bekende waarover je zult leren is √2.
Er is niet veel dat u kunt doen met aside2, afgezien van het benaderen van de waarde zoals hierboven beschreven. Maar als u een groter irrationeel getal in vierkantswortelvorm krijgt, kunt u soms het feit gebruiken dat
\sqrt{cd} = \sqrt{c} × \sqrt{d}
om het antwoord in een eenvoudigere vorm te herschrijven.
Beschouw de irrationele vierkantswortel √32. Hoewel het geen hoofdwortel heeft (dat wil zeggen een niet-negatieve, integere wortel), kun je het factoreren in iets met een bekende hoofdwortel:
\sqrt{32} = \sqrt{16} × \sqrt{2}
Je kunt nog steeds niet veel doen met √2, maar √16 = 4, dus je kunt een stap verder gaan en het schrijven als
\sqrt{32} = 4\sqrt{2}
Hoewel je het wortelteken niet helemaal hebt geëlimineerd, heb je dit irrationele getal vereenvoudigd en tegelijkertijd de exacte waarde behouden.