Als je eenmaal begint met trigonometrie en calculus, kun je uitdrukkingen als zonde tegenkomen (2θ), waar u wordt gevraagd om de waarde te vinden vanθ. Trial en error spelen met grafieken of een rekenmachine om het antwoord te vinden, zou variëren van een uitgesponnen nachtmerrie tot totaal onmogelijk. Gelukkig zijn de identiteiten met dubbele hoek hier om te helpen. Dit zijn speciale gevallen van wat bekend staat als een samengestelde formule, die functies van de vormen verbreekt (EEN + B) of (EEN – B) omlaag in functies van justEENenB.
De dubbelhoekige identiteiten voor sinus
Er zijn drie dubbelhoekidentiteiten, één voor de sinus-, cosinus- en tangensfuncties. Maar de sinus- en cosinus-identiteiten kunnen op meerdere manieren worden geschreven. Hier zijn de twee manieren om de identiteit met dubbele hoek voor de sinusfunctie te schrijven:
\sin (2θ) = 2\sinθ\cosθ \\ \sin (2θ) = \frac{2\tanθ}{1 + \tan^2θ}
De dubbelhoekige identiteiten voor cosinus
Er zijn nog meer manieren om de identiteit met dubbele hoek voor cosinus te schrijven:
\cos (2θ) = \cos^2θ - \sin^2θ \\ \cos (2θ) = 2\cos^2θ - 1 \\ \cos (2θ) = 1 - 2\sin^2θ \\ \cos ( 2θ) = \frac{1 - \tan^2θ}{1 + \tan^2θ}
De dubbelhoekige identiteit voor Tangent
Gelukkig is er maar één manier om de dubbele-hoekidentiteit voor de tangensfunctie te schrijven:
\tan (2θ) = \frac{2\tanθ}{1 - \tan^2θ}
Dubbelhoekige identiteiten gebruiken
Stel je voor dat je wordt geconfronteerd met een rechthoekige driehoek waarvan je de lengte van de zijden weet, maar niet de maat van de hoeken. Je bent gevraagd om te vindenθ, waarθis een van de hoeken van de driehoek. Als de hypotenusa van de driehoek 10 eenheden meet, meet de zijde naast uw hoek 6 eenheden en de zijde tegenover de hoek meet 8 eenheden, het maakt niet uit dat je de maat van. niet weetθ; je kunt je kennis van sinus en cosinus gebruiken, plus een van de dubbele-hoekformules, om het antwoord te vinden.
Als je eenmaal een hoek hebt gekozen, kun je sinus definiëren als de verhouding van de tegenoverliggende zijde tot de hypotenusa, en cosinus als de verhouding van de aangrenzende zijde tot de hypotenusa. Dus in het zojuist gegeven voorbeeld heb je:
\sinθ = \frac{8}{10} \\ \,\\ \cosθ = \frac{6}{10}
Je vindt deze twee uitdrukkingen omdat ze de belangrijkste bouwstenen zijn voor de dubbele-hoekformules.
Omdat er zoveel dubbele-hoekformules zijn om uit te kiezen, kunt u degene selecteren die er gemakkelijker uit ziet om te berekenen en het type informatie teruggeeft dat u nodig hebt. In dit geval, omdat je zonde kent knowθen cosθal is het duidelijk dat de handigste uitdrukking is:
\sin (2θ) = 2\sin\cosθ
Je kent de waarden van sinθ en cosθ al, dus vervang ze in de vergelijking:
\sin (2θ) = 2 × \frac{8}{10} × \frac{6}{10}
Zodra u vereenvoudigt, heeft u:
\sin (2θ) = \frac{96}{100}
De meeste trigonometrische grafieken worden gegeven in decimalen, dus bewerk vervolgens de deling die wordt weergegeven door de breuk om deze om te zetten in decimale vorm. Nu heb je:
\sin (2θ) = 0.96
Zoek ten slotte de inverse sinus of boogsinus van 0,96, die wordt geschreven als sin −1(0.96). Of, met andere woorden, gebruik je rekenmachine of een grafiek om de hoek met een sinus van 0,96 te benaderen. Het blijkt dat dat bijna precies gelijk is aan 73,7 graden. dus 2θ= 73,7 graden.
Deel elke zijde van de vergelijking door 2. Dit geeft je:
θ = 36.85 \text{ graden}