Een wiskundige reeks is een reeks getallen die in volgorde zijn gerangschikt. Een voorbeeld zou zijn 3, 6, 9, 12,... Een ander voorbeeld is 1, 3, 9, 27, 81,... De drie stippen geven aan dat de set doorgaat. Elk nummer in de set wordt een term genoemd. Een rekenkundige rij is een rij waarin elke term wordt gescheiden van de vorige door een constante die u aan elke term toevoegt. In het eerste voorbeeld is de constante 3; je voegt 3 toe aan elke term om de volgende term te krijgen. De tweede reeks is niet rekenkundig omdat je deze regel niet kunt toepassen om de termen te krijgen; de getallen lijken te zijn gescheiden door 3, maar in dit geval wordt elk getal vermenigvuldigd met 3, waardoor het verschil (d.w.z. wat je zou krijgen als je termen van elkaar zou aftrekken) veel meer dan 3 is.
Het is gemakkelijk om een rekenkundige reeks te bedenken als deze maar een paar termen lang is, maar wat als het duizenden termen heeft, en je wilt er een in het midden vinden? Je zou de reeks met de hand kunnen uitschrijven, maar er is een veel gemakkelijkere manier. Je gebruikt de rekenkundige rij-formule.
Hoe de rekenkundige rij-formule af te leiden?
Als je de eerste term in een rekenkundige reeks aangeeft met de lettereen, en je laat het gemeenschappelijke verschil tussen termen zijnd, kunt u de reeks in deze vorm schrijven:
a, (a + d), (a + 2d), (a +3d),.. .
Als je de n-de term in de reeks aanduidt alsXnee, kun je er een algemene formule voor schrijven:
x_n = een + d (n - 1)
Gebruik dit om de 10e term in de reeks 3, 6, 9, 12, te vinden.. .
x_{10} = 3 + 3(10 - 1) = 30
Controleer dit door de termen achter elkaar uit te schrijven en u zult zien dat het werkt.
Een voorbeeld van een rekenkundig sequentieprobleem
In veel opgaven krijg je een reeks getallen te zien, en je moet de rekenkundige reeksformule gebruiken om een regel te schrijven om een term in die bepaalde reeks af te leiden.
Schrijf bijvoorbeeld een regel voor de reeks 7, 12, 17, 22, 27,... Het gemeenschappelijke verschil (d) is 5 en de eerste term (een) is 7. DeneeDe term wordt gegeven door de rekenkundige reeksformule, dus het enige wat u hoeft te doen is de getallen in te vullen en te vereenvoudigen:
\begin{uitgelijnd} x_n &= a + d (n - 1) \\ &= 7 + 5(n - 1) \\ &= 7 + 5n - 5 \\ &= 2 + 5n \end{uitgelijnd}
Dit is een rekenkundige rij met twee variabelen,Xneeennee. Als je de ene kent, kun je de andere vinden. Als u bijvoorbeeld zoekt naar de 100e term (X100), dannee= 100 en de term is 502. Aan de andere kant, als je wilt weten welke term het getal 377 is, herschik dan de rekenkundige rij-formule om op te lossen voornee:
\begin{uitgelijnd} n &= \frac{x_n - 2}{5} \\ \,\\ &= \frac{377 - 2}{5} \\ \,\\ &= 75 \end{uitgelijnd}
Het getal 377 is de 75e term in de reeks.