Een radicaal, of wortel, is het wiskundige tegenovergestelde van een exponent, in dezelfde zin dat optellen het tegenovergestelde is van aftrekken. De kleinste wortel is de vierkantswortel, weergegeven met het symbool √. Het volgende radicaal is de derdemachtswortel, weergegeven door het symbool ³√. Het kleine getal voor de wortel is het indexnummer. Het indexnummer kan elk geheel getal zijn en het vertegenwoordigt ook de exponent die zou kunnen worden gebruikt om dat radicaal op te heffen. Verhogen tot de macht van 3 zou bijvoorbeeld een derdemachtswortel opheffen.
Algemene regels voor elke radicaal
Het resultaat van een radicale operatie is positief als het getal onder de radicale positief is. Het resultaat is negatief als het getal onder het wortelteken negatief is en het indexnummer oneven. Een negatief getal onder de wortel met een even indexgetal levert een irrationeel getal op. Onthoud dat hoewel het niet wordt weergegeven, het indexnummer van een vierkantswortel 2 is.
Product- en quotiëntregels
Om twee radicalen te vermenigvuldigen of te delen, moeten de radicalen hetzelfde indexnummer hebben. De productregel schrijft voor dat de vermenigvuldiging van twee radicalen eenvoudigweg de waarden binnen vermenigvuldigt en het antwoord binnen hetzelfde type radicalen plaatst, indien mogelijk vereenvoudigend. Bijvoorbeeld,
\sqrt[3]{2}× \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{8}
die kan worden vereenvoudigd tot 2. Deze regel kan ook omgekeerd werken, waarbij een grotere radicaal wordt gesplitst in twee kleinere radicale veelvouden.
De quotiëntregel stelt dat een wortel gedeeld door een ander hetzelfde is als de getallen delen en onder hetzelfde wortelteken plaatsen. Bijvoorbeeld,
\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{8}} = \sqrt{\frac{4}{8}} = \sqrt{\frac{1}{2}}
Net als bij de productregel, kun je de quotiëntregel ook omkeren om een breuk onder een radicaal in twee individuele radicalen te splitsen.
Tips
Hier is een belangrijke tip om vierkantswortels en andere even wortels te vereenvoudigen: Als het indexnummer even is, kunnen de getallen binnen de radicalen niet negatief zijn. In elke situatie kan de noemer van de breuk niet gelijk zijn aan 0.
Vierkantswortels en andere radicalen vereenvoudigen
Sommige radicalen lossen gemakkelijk op omdat het getal binnenin oplost tot een geheel getal, zoals √16 = 4. Maar de meeste zullen niet zo netjes vereenvoudigen. De productregel kan omgekeerd worden gebruikt om lastigere radicalen te vereenvoudigen. √27 is bijvoorbeeld ook gelijk aan √9 × √3. Aangezien √9 = 3, kan dit probleem worden vereenvoudigd tot 3√3. Dit kan zelfs als een variabele zich onder de radicaal bevindt, hoewel de variabele onder de radicaal moet blijven.
Rationele breuken kunnen op dezelfde manier worden opgelost met behulp van de quotiëntregel. Bijvoorbeeld,
\sqrt{\frac{5}{49}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{49}}
Aangezien √49 = 7, kan de breuk worden vereenvoudigd tot √5 ÷ 7.
Exponenten, radicalen en vereenvoudiging van vierkantswortels
Radicalen kunnen worden geëlimineerd uit vergelijkingen met behulp van de exponentversie van het indexnummer. Bijvoorbeeld, in de vergelijking √X= 4, het wortelteken wordt opgeheven door beide zijden tot de tweede macht te verheffen:
(\sqrt{x})^2 = (4)^2\text{ of } x = 16
De inverse exponent van het indexgetal is gelijk aan de radicaal zelf. Bijvoorbeeld, √9 is hetzelfde als 91/2. Het op deze manier schrijven van de wortel kan van pas komen bij het werken met een vergelijking met een groot aantal exponenten.