Als je de uitdrukkingen 3. ziet2 en 53, zou je met een zwaai kunnen aankondigen dat deze "drie kwadraat" en "vijf in blokjes" betekenen en in staat zijn om equivalente getallen te vinden zonder exponenten, de getallen die worden weergegeven door de superscripts rechtsboven. Deze getallen zijn in dit geval 9 en 125.
Maar wat als, in plaats van bijvoorbeeld een eenvoudige exponentiële functie zoals y = x 3, moet je in plaats daarvan een vergelijking oplossen zoals y = 3X. Hier verschijnt x, de afhankelijke variabele, als een exponent. Is er een manier om die variabele van zijn toppositie te halen om er wiskundig gemakkelijker mee om te gaan?
In feite is dat zo, en het antwoord ligt in het natuurlijke complement van exponenten, dit zijn leuke en nuttige grootheden die bekend staan als logaritmen.
Wat zijn exponenten?
Een exponent, ook wel a. genoemd macht, is een gecomprimeerde manier om herhaalde vermenigvuldigingen van een getal op zichzelf uit te drukken. 45 = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 1,024.
- Elk getal tot de macht 1 behoudt dezelfde waarde; elk getal met een exponent van 0 is gelijk aan 1. Bijvoorbeeld 721 = 72; 720 = 1.
Exponenten kunnen negatief zijn, waardoor de relatie ontstaat Xn= 1/(xnee). Ze kunnen ook worden uitgedrukt als breuken, bijvoorbeeld 2(5/3). Indien uitgedrukt als breuken, moeten zowel de teller als de noemer gehele getallen zijn.
Wat zijn logaritmen?
Logaritmen, of 'logs', kunnen worden beschouwd als exponenten die worden uitgedrukt als iets anders dan een macht. Dat helpt waarschijnlijk niet veel, dus misschien een paar voorbeelden.
In de uitdrukking 103 = 1,000, het getal 10 is de baseren, en het wordt verheven tot de derde macht (of Kracht van drie). Je kunt dit uitdrukken als "de basis van 10 verheven tot de derde macht is gelijk aan 1.000."
Een voorbeeld van een logaritme is log10(1,000) = 3. Merk op dat de getallen en hun onderlinge relaties hetzelfde zijn als in het vorige voorbeeld, maar ze zijn verplaatst. In woorden betekent dit: "de log-basis 10 van 1.000 is gelijk aan 3."
De hoeveelheid aan de rechterkant is de macht waartoe de basis van 10 moet worden verhoogd om gelijk te zijn aan de argument, of invoer van het logboek, de waarde tussen haakjes (in dit geval 1.000). Deze waarde moet positief zijn, omdat het grondtal - dat een ander getal dan 10 kan zijn, maar waarvan wordt aangenomen dat het 10 is als het wordt weggelaten, bijvoorbeeld "log 4" - ook altijd positief is.
Handige regels voor logaritmen
Dus hoe kun je gemakkelijk werken tussen logs en exponenten? Een paar regels over het gedrag van logboeken kunnen u op weg helpen bij exponentproblemen.
log_{b}(xy) = log_{b}{x} + log_{b}y log_{b}(\dfrac{x}{y}) = log_{b}{x} \text{ − }log_{ b}y log_{b}(x^A) = A⋅log_{b}(x) log_{b}(\dfrac{1}{y}) = −log_{b}(y)
Oplossen voor een exponent
Met de bovenstaande informatie ben je klaar om te proberen een exponent in een vergelijking op te lossen.
Voorbeeld: Als 50 = 4X, wat is x?
Als je de stam naar de basis 10 van elke zijde neemt en de expliciete identificatie van de basis weglaat, wordt dit stam 50 = stam 4X. Uit het vak hierboven weet je dat logboek 4X = x logboek 4. Dit laat je met
log 50 = x log 4, of x = (log 50)/(log 4).
Met behulp van uw rekenmachine of elektronisch apparaat naar keuze, vindt u dat de oplossing is (1.689/0.602) = 2.82.
Exponentiële vergelijkingen oplossen met e
Dezelfde regels zijn van toepassing wanneer de basis is e, de zogenoemde natuurlijke logaritme, die een waarde heeft van ongeveer 2,7183. Je zou hiervoor ook een knop op je rekenmachine moeten hebben. Deze waarde krijgt ook zijn eigen notatie: logex is gewoon geschreven "ln x."
- De functie y = eX i, met e geen variabele maar een constante met deze waarde, is de enige functie met een helling gelijk aan zijn eigen hoogte voor alle x en y.
- Net als log1010X = x, ln eX = x voor alle x.
Voorbeeld: Los de vergelijking 16 = e. op2,7x.
Zoals hierboven, ln 16 = ln e2,7x = 2,7x.
ln 16 = 2,77 = 2,7x, dus x = 2/77/2,7 = 1.03.