Het kiezen van de perfecte March Madness-beugel is de droom voor iedereen die de pen op papier zet in een poging te voorspellen wat er in het toernooi gaat gebeuren.
Maar we durven wedden dat je nog nooit iemand hebt ontmoet die het heeft bereikt. Sterker nog, je eigen keuzes vallen waarschijnlijk manier kort van het soort nauwkeurigheid waarop u zou hopen wanneer u uw beugel voor het eerst in elkaar zet. Dus waarom is het zo moeilijk om de beugel perfect te voorspellen?
Welnu, het enige dat nodig is, is één blik op het verbijsterend grote aantal dat uitkomt als je kijkt naar de waarschijnlijkheid van een perfecte voorspelling om te begrijpen.
ICYMI: Bekijk de wetenschappelijke gids voor: 2019 maart waanzin, compleet met statistieken om u te helpen een winnende schijf in te vullen.
Hoe waarschijnlijk is het kiezen van de perfecte beugel? De basis
Laten we alle complexiteiten vergeten die de wateren vertroebelen als het gaat om het voorspellen van de winnaar van een basketbalspel voor nu. Om de basisberekening te voltooien, hoef je alleen maar aan te nemen dat je een kans van één op twee (d.w.z. 1/2) hebt om het juiste team als winnaar van een spel te kiezen.
Werkend vanuit de laatste 64 deelnemende teams, zijn er in totaal 63 wedstrijden in March Madness.
Dus hoe bereken je de kans dat je meer dan één spel goed voorspelt? Aangezien elk spel een onafhankelijk uitkomst (d.w.z. het resultaat van een spel in de eerste ronde heeft geen invloed op het resultaat van een van de andere, op dezelfde manier als de kant die naar boven komt wanneer je een munt opgooit, heeft geen invloed op de kant die naar boven komt als je een andere opgooit), gebruik je de productregel voor onafhankelijk waarschijnlijkheden.
Dit vertelt ons dat de gecombineerde kansen voor meerdere onafhankelijke uitkomsten eenvoudigweg het product zijn van de individuele kansen.
In symbolen, met P voor waarschijnlijkheid en subscripts voor elke individuele uitkomst:
P = P_1 × P_2 × P_3 × …P_n
U kunt dit voor elke situatie gebruiken met onafhankelijke resultaten. Dus voor twee wedstrijden met een gelijke kans dat elk team wint, is de kans P van het kiezen van een winnaar in beide is:
\begin{uitgelijnd} P &= P_1 × P_2 \\ &= {1 \boven{1pt}2} × {1 \boven{1pt}2} \\ &= {1 \boven{1pt}4} \end{ uitgelijnd}
Voeg een derde spel toe en het wordt:
\begin{uitgelijnd} P &= P_1 × P_2 × P_3 \\ &= {1 \boven{1pt}2} × {1 \boven{1pt}2}× {1 \boven{1pt}2} \\ &= {1 \boven{1pt}8} \end{uitgelijnd}
Zoals je kunt zien, wordt de kans kleiner werkelijk snel als u games toevoegt. Voor meerdere keuzes waarbij elk een gelijke kans heeft, kun je de eenvoudigere formule gebruiken:
P={P_1}^n
Waar nee is het aantal spellen. Dus nu kunnen we de kansen berekenen om alle 63 March Madness-spellen op deze basis te voorspellen, met nee = 63:
\begin{aligned} P&={\bigg(\frac{1}{2}\bigg)}^{63} \\ &= \frac{1}{9.223.372.036.854.775.808} \end{aligned}
In woorden, de kans dat het gebeurt is ongeveer 9,2 triljoen tot één, wat overeenkomt met 9,2 miljarden miljarden. Dit aantal is zo groot dat het moeilijk voor te stellen is: het is bijvoorbeeld meer dan 400.000 keer zo groot als de Amerikaanse staatsschuld. Als je zoveel kilometers zou hebben gereisd, zou je van de zon rechtstreeks naar Neptunus kunnen reizen en terug, meer dan een miljard keer. Je hebt meer kans om vier holes in één te slaan in een enkele golfronde, of om drie royal flushes op rij te krijgen in een pokerspel.
De perfecte beugel kiezen: ingewikkelder worden
De vorige schatting behandelt elk spel echter als een coinflip, maar de meeste spellen in March Madness zullen niet zo zijn. Er is bijvoorbeeld een kans van 99/100 dat een nummer 1 team door de eerste ronde komt en er is een kans van 22/25 dat een top drie reekshoofd het toernooi wint.
Professor Jay Bergen van DePaul maakte een betere schatting op basis van factoren zoals deze, en ontdekte dat het kiezen van een perfecte beugel eigenlijk een kans van 1 op 128 miljard is. Dit is nog steeds enorm onwaarschijnlijk, maar het verlaagt de eerdere schatting aanzienlijk.
Hoeveel haakjes zijn er nodig om er een perfect goed te krijgen?
Met deze bijgewerkte schatting kunnen we beginnen te kijken hoe lang het naar verwachting zou duren voordat u een perfecte beugel heeft. Voor elke waarschijnlijkheid P, het aantal pogingen nee het gemiddeld duurt om het resultaat te bereiken waarnaar u op zoek bent, wordt gegeven door:
n=\frac{1}{P}
Dus voor het krijgen van een zes op een worp van een dobbelsteen, P = 1/6, en dus:
n=\frac{1}{1/6}=6
Dit betekent dat het gemiddeld zes worpen kost voordat je een zes gooit. Voor de kans van 1/128.000.000.000 om een perfecte bracket te krijgen, zou het volgende zijn:
\begin{uitgelijnd} n&=\frac{1}{1/128.000.000.000} \\&=128.000.000.000 \end{uitgelijnd}
Een enorme 128 miljard haakjes. Dit betekent dat als iedereen in de VS elk jaar een haakje invulde, zou het ongeveer 390 jaar duren voordat we zouden verwachten dat te zien een perfecte beugel.
Dat zou je natuurlijk niet moeten ontmoedigen om het te proberen, maar nu heb je de perfect excuus als het niet allemaal goed gaat.
Voel je de geest van March Madness? Bekijk onze tips en trucs voor het invullen van een haakje, en lees waarom het zo moeilijk te voorspellen is verstoort.