Stel je voor dat je een kanon bemant, met als doel de muren van een vijandelijk kasteel neer te halen, zodat je leger kan binnenstormen en de overwinning kan claimen. Als je weet hoe snel de bal reist wanneer hij het kanon verlaat, en je weet hoe ver de muren verwijderd zijn, op welke lanceerhoek moet je het kanon dan afvuren om de muren met succes te raken?
Dit is een voorbeeld van een projectielbewegingsprobleem, en je kunt dit en veel soortgelijke problemen oplossen met behulp van de constante versnellingsvergelijkingen van de kinematica en wat basisalgebra.
Projectiel bewegingzo beschrijven natuurkundigen tweedimensionale beweging waarbij de enige versnelling die het object in kwestie ervaart de constante neerwaartse versnelling als gevolg van de zwaartekracht is.
Op het aardoppervlak, de constante versnellingeenis gelijk aang= 9,8 m/s2, en een object dat een projectielbeweging ondergaat is invrije valmet dit als de enige bron van versnelling. In de meeste gevallen zal het het pad van een parabool volgen, dus de beweging zal zowel een horizontale als een verticale component hebben. Hoewel het in het echte leven een (beperkt) effect zou hebben, negeren de meeste projectielbewegingsproblemen van de middelbare school gelukkig het effect van luchtweerstand.
U kunt problemen met projectielbewegingen oplossen met de waarde vangen wat andere basisinformatie over de huidige situatie, zoals de beginsnelheid van het projectiel en de richting waarin het reist. Het leren oplossen van deze problemen is essentieel om te slagen voor de meeste inleidende natuurkundelessen, en het laat je ook kennismaken met de belangrijkste concepten en technieken die je in latere cursussen nodig zult hebben.
Projectiel Bewegingsvergelijkingen
De vergelijkingen voor projectielbeweging zijn de constante versnellingsvergelijkingen uit de kinematica, omdat de versnelling van de zwaartekracht de enige bron van versnelling is waarmee u rekening moet houden. De vier hoofdvergelijkingen die je nodig hebt om elk projectielbewegingsprobleem op te lossen, zijn:
v=v_0+at \\ s = \bigg(\frac{v + v_0} {2}\bigg) t \\ s = v_0t + \frac{1}{2}at^2 \\ v^2 = v_0 ^2 + 2as
Hier,vstaat voor snelheid,v0 is de beginsnelheid,eenis versnelling (die gelijk is aan de neerwaartse versnelling vangin alle projectielbewegingsproblemen),zois de verplaatsing (vanaf de beginpositie) en zoals altijd heb je tijd,t.
Deze vergelijkingen zijn technisch gezien slechts voor één dimensie, en in werkelijkheid kunnen ze worden weergegeven door vectorgrootheden (inclusief snelheidv, beginsnelheidv0 enzovoort), maar in de praktijk kunt u deze versies gewoon afzonderlijk gebruiken, eenmaal in deX-richting en eenmaal in deja-richting (en als je ooit een driedimensionaal probleem hebt gehad, in dez-richting ook).
Het is belangrijk om te onthouden dat deze:alleen gebruikt voor constante acceleratie, waardoor ze perfect zijn voor het beschrijven van situaties waarin de invloed van de zwaartekracht de enige is versnelling, maar niet geschikt voor veel situaties in de echte wereld waar extra krachten nodig zijn beschouwd.
Voor basissituaties is dit alles wat je nodig hebt om de beweging van een object te beschrijven, maar indien nodig kun je andere opnemen factoren, zoals de hoogte van waaruit het projectiel werd gelanceerd of zelfs oplossen voor het hoogste punt van het projectiel op zijn pad.
Problemen met projectielbewegingen oplossen
Nu je de vier versies van de projectielbewegingsformule hebt gezien die je moet gebruiken om problemen op te lossen, kunt u gaan nadenken over de strategie die u gebruikt om een projectielbeweging op te lossen probleem.
De basisbenadering is om het probleem in twee delen te splitsen: een voor de horizontale beweging en een voor de verticale beweging. Dit wordt technisch de horizontale component en verticale component genoemd, en elk heeft een bijbehorende set van: grootheden, zoals de horizontale snelheid, verticale snelheid, horizontale verplaatsing, verticale verplaatsing en spoedig.
Met deze benadering kun je de kinematica-vergelijkingen gebruiken, rekening houdend met de tijdtis hetzelfde voor zowel horizontale als verticale componenten, maar zaken als de beginsnelheid zullen verschillende componenten hebben voor de aanvankelijke verticale snelheid en de aanvankelijke horizontale snelheid.
Het cruciale om te begrijpen is dat voor tweedimensionale beweging,iederbewegingshoek kan worden onderverdeeld in een horizontale component en een verticale component, maar wanneer? als je dit doet, is er één horizontale versie van de betreffende vergelijking en één verticale versie.
Het verwaarlozen van de effecten van luchtweerstand vereenvoudigt de projectielbewegingsproblemen enorm omdat de horizontale richting er nooit een heeft versnelling in een projectielbeweging (vrije val) probleem, aangezien de invloed van de zwaartekracht alleen verticaal werkt (d.w.z. naar het oppervlak van de Aarde).
Dit betekent dat de horizontale snelheidscomponent slechts een constante snelheid is, en de beweging stopt alleen wanneer de zwaartekracht het projectiel naar het grondniveau brengt. Dit kan worden gebruikt om het tijdstip van de vlucht te bepalen, omdat het volledig afhankelijk is van deja-richtingsbeweging en kan volledig worden uitgewerkt op basis van de verticale verplaatsing (d.w.z. de tijdtwanneer de verticale verplaatsing nul is, vertelt u de tijd van de vlucht).
Trigonometrie bij problemen met projectielbewegingen
Als het probleem in kwestie je een starthoek en een beginsnelheid geeft, moet je trigonometrie gebruiken om de horizontale en verticale snelheidscomponenten te vinden. Zodra u dit hebt gedaan, kunt u de methoden gebruiken die in de vorige sectie zijn beschreven om het probleem daadwerkelijk op te lossen.
In wezen creëer je een rechthoekige driehoek met de hypotenusa schuin onder de lanceringshoek (θ) en de grootte van de snelheid als de lengte, en dan is de aangrenzende zijde de horizontale component van de snelheid en de andere zijde is de verticale snelheid.
Teken de rechthoekige driehoek zoals aangegeven, en je zult zien dat je de horizontale en verticale componenten vindt met behulp van de trigonometrische identiteiten:
\tekst{cos}\; θ = \frac{\text{aangrenzend}}{\text{hypotenuse}}
\tekst{zonde}\; θ = \frac{\text{tegenover}}{\text{hypotenuse}}
Dus deze kunnen worden herschikt (en met tegengestelde =vja en aangrenzend =vX, d.w.z. respectievelijk de verticale snelheidscomponent en de horizontale snelheidscomponenten, en hypotenusa =v0, de beginsnelheid) om te geven:
v_x = v_0 cos (θ) \\ v_y = v_0 sin (θ)
Dit is alle trigonometrie die u moet doen om problemen met projectielbewegingen aan te pakken: de lanceerhoek aansluiten op de vergelijking, door de sinus- en cosinusfuncties op uw rekenmachine te gebruiken en het resultaat te vermenigvuldigen met de beginsnelheid van de projectiel.
Dus om een voorbeeld te nemen om dit te doen, met een beginsnelheid van 20 m/s en een lanceringshoek van 60 graden, zijn de componenten:
\begin{aligned} v_x &= 20 \;\text{m/s} × \cos (60) \\ &= 10 \;\text{m/s} \\ v_y &= 20 \;\text {m /s} × \sin (60) \\ &= 17.32 \;\text{m/s} \end{aligned}
Voorbeeld projectielbewegingsprobleem: een exploderend vuurwerk
Stel je voor dat een vuurwerk een lont heeft die zo is ontworpen dat het explodeert op het hoogste punt van zijn baan, en het wordt gelanceerd met een beginsnelheid van 60 m/s onder een hoek van 70 graden met de horizontaal.
Hoe zou je uitrekenen welke hoogte?hhet ontploft bij? En hoe laat zou het zijn vanaf de lancering als hij ontploft?
Dit is een van de vele problemen die te maken hebben met de maximale hoogte van een projectiel, en de truc om deze op te lossen is dat op de maximale hoogte deja-component van de snelheid is even 0 m/s. Door deze waarde in te vullen voorvja en door de meest geschikte van de kinematische vergelijkingen te kiezen, kunt u dit en elk soortgelijk probleem gemakkelijk aanpakken.
Ten eerste, kijkend naar de kinematische vergelijkingen, springt deze eruit (met subscripts toegevoegd om te laten zien dat we in verticale richting werken):
v_y^2 = v_{0y}^2 + 2a_ys_y
Deze vergelijking is ideaal omdat je de versnelling al kent (eenja = -g), de beginsnelheid en de lanceerhoek (zodat je de verticale component kunt berekenen)vy0). Omdat we op zoek zijn naar de waarde vanzoja (d.w.z. de hoogte)h) wanneervja = 0, we kunnen nul vervangen voor de laatste verticale snelheidscomponent en herschikken voorzoja:
0 = v_{0y}^2 + 2a_ys_y
−2a_ys_y = v_{0y}^2
s_y = \frac{−v_{0y}^2}{2a_y}
Omdat het logisch is om de opwaartse richting te noemenja, en aangezien de versnelling als gevolg van de zwaartekrachtgnaar beneden is gericht (d.w.z. in de -jarichting), kunnen we verandereneenja voor -g. Eindelijk bellenzoja de hoogteh, we kunnen schrijven:
h = \frac{v_{0y}^2}{2g}
Dus het enige dat u hoeft uit te werken om het probleem op te lossen, is de verticale component van de beginsnelheid, wat u kunt doen met behulp van de trigonometrische benadering uit de vorige sectie. Dus met de informatie uit de vraag (60 m/s en 70 graden tot de horizontale lancering), geeft dit:
\begin{aligned} v_{0y} &= 60 \;\text{m/s} × \sin (70) \\ &= 56.38 \;\text{m/s} \end{aligned}
Nu kun je oplossen voor de maximale hoogte:
\begin{uitgelijnd} h &= \frac{v_{0y}^2}{2g} \\ &= \frac{(56.38 \; \text{m/s})^2}{2 × 9.8 \;\text{m/s}^2} \\ &= 162.19 \text{m} \end{aligned}
Het vuurwerk zal dus op ongeveer 162 meter van de grond exploderen.
Voortzetting van het voorbeeld: vliegtijd en afgelegde afstand
Na het oplossen van de basisprincipes van het projectielbewegingsprobleem dat puur gebaseerd is op de verticale beweging, kan de rest van het probleem eenvoudig worden opgelost. Allereerst kan de tijd vanaf de lancering dat de lont explodeert worden gevonden met behulp van een van de andere constante versnellingsvergelijkingen. Kijkend naar de opties, de volgende uitdrukking:
s_y = \bigg(\frac{v_y + v_{0y}} {2}\bigg) t \\
heeft de tijdt, dat is wat je wilt weten; de verplaatsing, die u kent voor het maximale punt van de vlucht; de initiële verticale snelheid; en de snelheid op het moment van de maximale hoogte (waarvan we weten dat deze nul is). Dus op basis hiervan kan de vergelijking worden herschikt om een uitdrukking te geven voor de vluchttijd:
s_y = \bigg(\frac{v_{0y}} {2}\bigg) t \\ t = \frac{2s_y}{v_{0y}}
Dus de waarden invoegen en oplossen voortgeeft:
\begin{uitgelijnd} t &= \frac{2 × 162.19 \;\text{m}} {56.38 \; \text{m/s}} \\ &= 5.75 \;\text{s} \end{uitgelijnd}
Het vuurwerk zal dus 5,75 seconden na de lancering ontploffen.
Ten slotte kunt u eenvoudig de horizontale afgelegde afstand bepalen op basis van de eerste vergelijking, die (in horizontale richting) stelt:
v_x = v_{0x} + a_xt
Merk echter op dat er geen versnelling is in deX-richting, dit is gewoon:
v_x = v_{0x}
Dit betekent dat de snelheid in deXrichting is hetzelfde tijdens de reis van het vuurwerk. Gezien het feit datv = d/t, waardis de afgelegde afstand, dat is gemakkelijk te ziend = vt, en dus in dit geval (metzoX = d):
s_x = v_{0x}t
Dus je kunt vervangenv0x met de trigonometrische uitdrukking van eerder, voer de waarden in en los op:
\begin{uitgelijnd} s_x &= v_0 \cos (θ) t \\ &= 60 \;\text{m/s} × \cos (70) × 5.75 \;\text{s} \\ &= 118 \ ;\text{m} \end{uitgelijnd}
Het zal dus ongeveer 118 m reizen voor de explosie.
Aanvullend probleem met projectielbeweging: het Dud-vuurwerk
Voor een extra probleem om aan te werken, stel je het vuurwerk uit het vorige voorbeeld voor (beginsnelheid van 60 m/s gelanceerd op 70 graden ten opzichte van de horizontaal) explodeerde niet op het hoogtepunt van zijn parabool en landt in plaats daarvan op de grond niet ontploft. Kunt u in dit geval de totale vliegtijd berekenen? Hoe ver weg van de lanceerplaats in horizontale richting zal het landen, of met andere woorden, wat is de?bereikvan het projectiel?
Dit probleem werkt in principe op dezelfde manier, waar de verticale componenten van snelheid en verplaatsing zijn de belangrijkste dingen waarmee u rekening moet houden om het tijdstip van de vlucht te bepalen, en op basis daarvan kunt u de bereik. In plaats van de oplossing in detail uit te werken, kunt u dit zelf oplossen aan de hand van het vorige voorbeeld.
Er zijn formules voor het bereik van een projectiel, die je kunt opzoeken of afleiden uit de constante versnellingsvergelijkingen, maar dit is niet echt nodig omdat je de maximale hoogte van het projectiel al kent, en vanaf dit punt is het gewoon in vrije val onder invloed van zwaartekracht.
Dit betekent dat je kunt bepalen hoe lang het duurt voordat het vuurwerk weer op de grond valt, en dit vervolgens bij de vliegtijd optelt bij de maximale hoogte om de totale vliegtijd te bepalen. Vanaf dat moment is het hetzelfde proces waarbij de constante snelheid in horizontale richting naast de vliegtijd wordt gebruikt om het bereik te bepalen.
Laat zien dat de vliegtijd 11,5 seconden is en dat het bereik 236 m is, en merk op dat u dit moet doen bereken de verticale component van de snelheid op het punt dat het de grond raakt als een tussenproduct stap.