Vectoren en scalaires: wat zijn ze en waarom zijn ze belangrijk?

In het dagelijks leven gebruiken de meeste mensen de termensnelheidensnelheidonderling uitwisselbaar, maar voor natuurkundigen zijn het voorbeelden van twee heel verschillende soorten kwantiteit.

Mechanische problemen hebben te maken met de beweging van objecten, en hoewel je beweging gewoon kunt beschrijven in termen van snelheid, is de specifieke richting waarin iets gaat vaak van cruciaal belang.

Evenzo kunnen de krachten die op objecten worden uitgeoefend uit veel verschillende richtingen komen - denk bijvoorbeeld aan de tegengestelde trekken in een touwtrekken - dus natuurkundigen die situaties als deze beschrijven, moeten grootheden gebruiken die zowel de "grootte" van dingen als krachten beschrijven als de richting waarin ze handelen. Deze hoeveelheden worden genoemdvectoren​.

TL; DR (te lang; niet gelezen)

Een vector heeft zowel een grootte als een specifieke richting, maar een scalaire grootheid heeft alleen een grootte.

Het belangrijkste verschil tussen vectoren en scalairen is dat de grootte van een vector deze niet volledig beschrijft; er moet ook een aangegeven richting zijn.

De richting van een vector kan op verschillende manieren worden aangegeven, hetzij door positieve of negatieve tekens ervoor, en deze uit te drukken in de vorm van componenten (scalaire waarden naast de juiste​ik​​, ​​j​en​k​"eenheidsvector", die overeenkomt met de cartesiaanse coördinaten vanX​, ​jaenz, respectievelijk), het toevoegen van een hoek ten opzichte van een aangegeven richting (bijv. "60 graden van de"X-as") of door simpelweg enkele woorden toe te voegen om de richting te beschrijven (bijv. "noordwest").

Daarentegen is een scalair slechts de grootte van de vector zonder enige aanvullende notatie of verstrekte informatie - snelheid is bijvoorbeeld een scalair equivalent van de snelheidsvector. Vanuit een wiskundig perspectief is dit de absolute waarde van de vector.

Veel grootheden, zoals energie, druk, lengte, massa, vermogen en temperatuur, zijn echter voorbeelden van scalaire waarden die niet alleen de grootte van een overeenkomstige vector zijn. Je hoeft bijvoorbeeld niet de "richting" van massa te kennen om er een volledig beeld van te hebben als een fysieke eigenschap.

Er zijn een paar contra-intuïtieve feiten die u kunt begrijpen als u het verschil kent tussen een scalair en een vector, zoals het idee dat iets een constante snelheid kan hebben maar een continu veranderende snelheid. Stel je een auto voor die met een constante snelheid van 10 km/u rijdt, maar in een cirkel. Omdat de richting van een vector deel uitmaakt van zijn definitie, is de snelheidsvector van de auto altijd veranderen in dit voorbeeld, ondanks het feit dat de grootte van de vector (d.w.z. de snelheid) is constante.

Er zijn veel voorbeelden van vectoren in de natuurkunde, maar enkele van de meest bekende voorbeelden zijn kracht, momentum, versnelling en snelheid, die allemaal sterk voorkomen in de klassieke natuurkunde. Een snelheidsvector kan worden weergegeven als 25 m/s naar het oosten, −8 km/h in deja-richting,​v​= 5 m/sik+ 10 m/sj, of 10 m/s in een richting van 50 graden vanaf deX-as.

Momentumvectoren zijn een ander voorbeeld dat u kunt gebruiken om te zien hoe de grootte en richting van de vector in de natuurkunde worden weergegeven. Deze werken net als de snelheidsvectorvoorbeelden, met 50 kg m/s naar het westen, −12 km/h in dezrichting,​p​= 12 kgm/sik– 10 kgm/sj– 15 kgm/sken 100 kg m/s 30 graden van deX-as zijn voorbeelden van hoe ze kunnen worden weergegeven. Dezelfde basispunten gelden voor de weergave van versnellingsvectoren, met als enige verschil de eenheid van m/s² en het veelgebruikte symbool voor de vector,​een​​.

Kracht is de laatste van deze voorbeelden van vectoruitdrukkingen, en hoewel er veel overeenkomsten zijn, gebruikt cilindrische coördinaten (r​, ​θ​, ​z) in plaats van Cartesiaanse coördinaten kunnen helpen om andere manieren te tonen waarop ze kunnen worden weergegeven. U kunt bijvoorbeeld een kracht schrijven als​F​= 10 Nr+ 35 Nee𝛉, voor een kracht met componenten in de radiale richting en de azimutale richting, of beschrijf de zwaartekracht op een object van 1 kg op aarde als 10 N in de –rrichting (d.w.z. naar het centrum van de planeet).

In diagrammen worden vectoren weergegeven met pijlen, waarbij de grootte van de vector wordt weergegeven door de lengte van de pijl en de richting wordt weergegeven door de richting waarin de pijl wijst. Een grotere pijl laat bijvoorbeeld zien dat een kracht groter is (d.w.z. meer Newton of een grotere magnitude) dan een andere kracht.

Voor een vector die beweging laat zien, zoals het momentum of de snelheidsvector, is denul vector(d.w.z. een vector die geen snelheid of momentum vertegenwoordigt) wordt weergegeven met een enkele stip.

Het is vermeldenswaard dat omdat de lengte van de pijl de grootte van de vector vertegenwoordigt en de oriëntatie de richting van de vector vertegenwoordigt. Het is handig om te proberen redelijk nauwkeurig te zijn bij het maken van een vectordiagram. Het hoeft niet perfect te zijn, maar als de vector​een​is twee keer zo groot als de vector​b​, moet de pijl ongeveer twee keer zo lang zijn.

Het optellen en aftrekken van vectoren is iets ingewikkelder dan het optellen en aftrekken van scalaire getallen, maar u kunt de concepten gemakkelijk oppikken. Er zijn twee hoofdbenaderingen die u kunt gebruiken, en elk heeft mogelijke toepassingen, afhankelijk van het specifieke probleem dat u aanpakt.

De eerste, en de gemakkelijkste om te gebruiken als je twee vectoren in componentvorm hebt gekregen, is om eenvoudig overeenkomende componenten toe te voegen op dezelfde manier waarop je gewone scalairen zou toevoegen. Als u bijvoorbeeld de twee krachten moet optellen​F​​₁ = 5 Nik+ 10 Neejen​F​​₂ = 6 Nik+ 15 Neej+ 10 Neek, zou je de. toevoegenikcomponenten, dan is dejcomponenten en tot slot dekcomponenten als volgt:

Vectoraftrekken werkt op precies dezelfde manier, behalve dat u de hoeveelheden aftrekt in plaats van ze op te tellen. Vectoroptelling is ook commutatief, zoals gewone optelling met reële getallen, dus​een ​​+ ​​b​​ = ​​b​​ + ​​een​​.

U kunt ook vectoroptellingen uitvoeren met behulp van pijldiagrammen door de vectorpijlen van kop tot staart te leggen en dan een nieuwe vectorpijl tekenen voor de som van de vectoren die de staart van de eerste pijl verbinden met de kop van de tweede.

Als je een eenvoudige vectoroptelling hebt met één in deX-richting en een andere in deja-richting vormt het diagram een ​​rechthoekige driehoek. U kunt de vectoroptelling voltooien en de grootte en richting van de resulterende vector bepalen door de driehoek "op te lossen" met behulp van trigonometrie en de stelling van Pythagoras.

Het vermenigvuldigen van vectoren is iets ingewikkelder dan scalaire vermenigvuldiging voor reële getallen, maar de twee belangrijkste vormen van vermenigvuldiging zijn het puntproduct en het uitwendige product. Het puntproduct wordt het scalaire product genoemd en wordt gedefinieerd als:

of

waarθis de hoek tussen de twee vectoren, en de subscripts 1, 2 en 3 vertegenwoordigen de eerste, tweede en derde component van de vector. Het resultaat van het puntproduct is een scalair.

Het uitwendige product wordt gedefinieerd als:

waarbij de komma's componenten van het resultaat in verschillende richtingen scheiden.