Natuurkundigen vergelijken de traagheidsmomenten van roterende objecten om te bepalen welke moeilijker te versnellen of te vertragen zijn. Dit is van toepassing op situaties in de echte wereld, zoals uitzoeken welke objecten het snelst rollen in een race.
De factoren die het traagheidsmoment van een object veranderen, zijn de massa, hoe die massa wordt verdeeld - bepaald door zijn vorm en straal - en de rotatie-as waarop het draait.
Traagheidsmomenten voor gemeenschappelijke objecten
Dit diagram toont de traagheidsmomentvergelijkingen voor verschillende veelvoorkomende vormen die rond verschillende rotatieassen roteren.
Traagheidsmomenten vergelijken
Hier zijn enkele voorbeelden van natuurkundige problemen die het gebruik van traagheidsmomenten vereisen om verschillende objecten te vergelijken.
1. Welke van de volgende is het gemakkelijkst om te beginnen met draaien: een holle bol van 7 kg met een straal van 0,2 m of een massieve bol van 10 kg met dezelfde straal?
Begin met het vinden van de traagheidsmomenten voor elk object. Volgens de tabel is de vergelijking voor a
holle bolis:ik = 2/3mr2, en de vergelijking voor avaste bolisik = 2/5mr2.Vervanging van de gegeven massa's en stralen:
Holle bol: ik = 2/3 (7 kg) (0,2 m)2 = 0.19 kgm2
Solide gebied: ik = 2/5 (10 kg) (0,2 m)2 = 0.16 kgm2
Het traagheidsmoment iskleiner voor de vaste bol, zo zal het zijnhet gemakkelijkst om te beginnen met draaien.
2. Op welke manier is het het moeilijkst om een potlood te draaien: over zijn lengte, rond het midden of eind over eind? Neem aan dat het potlood een lengte heeft van 10 cm (0,1 m) en een straal van de dwarsdoorsnede van 3 mm (0,003 m).
In dit geval doet de massa van het potlood er niet toe in de vergelijking, omdat het niet verandert.
Om te bepalen welke vergelijkingen van toepassing zijn, moet u de vorm van een potlood benaderen als een cilinder.
Dan zijn de drie noodzakelijke traagheidsmomentvergelijkingen:
Cilinder over zijn lengte:(de as gaat door het hele ding, van de punt naar de gum, dus de straal naar de rotatie-asisde straal van de dwarsdoorsnede):
I=\frac{1}{2}mr^2=\frac{1}{2}m (0.003)^2=0.0000045m
Cilinder rond het midden(gehouden in het midden, dus de straal van zijn rotatie isde helft van zijn lengte):
I=\frac{1}{12}mr^2=\frac{1}{12}m (0,05)^2=0.0002083m
Cilinder rond zijn einde(vastgehouden door de punt of de gum, dus de straal tot de rotatie-as)iszijn lengte):
I=\frac{1}{3}mr^2=\frac{1}{3}m (0,1)^2=0,003333m
Hoe hoger het traagheidsmoment van een object, hoe moeilijker het is om de rotatie te starten (of te stoppen).Omdat elke waarde met hetzelfde wordt vermenigvuldigdm, hoe groter de waarde van de breuk vermenigvuldigd met r2, hoe hoger het traagheidsmoment zal zijn. In dit geval 0.0033333 > 0.0002083 > 0.0000045, dus het ismoeilijker om een potlood rond zijn uiteinde te draaiendan rond de andere twee assen.
3. Welk object bereikt als eerste de onderkant van een helling als ze allemaal dezelfde massa en straal hebben en allemaal tegelijkertijd van bovenaf worden losgelaten: een hoepel, een cilinder of een massieve bol? Negeer wrijving.
De sleutel tot het beantwoorden van dit probleem is het toepassen van begrip vanbehoud van energie. Als alle objecten dezelfde massa hebben en op dezelfde hoogte beginnen, moeten ze beginnen met dezelfde hoeveelheidzwaartekracht potentiële energie. Dit is detotale energieze hebben beschikbaar om in kinetische energie om te zetten en de helling af te gaan.
Omdat de objecten van de helling zullen rollen, moeten ze hun aanvankelijke potentiële energie in beide omzettenroterende en lineaire kinetische energieën.
Hier is het addertje onder het gras: hoe meer energie van die totale taart het object nodig heeftbegin te draaien, hoe minder het beschikbaar zal zijn voorlineaire beweging. Dat betekenthoe gemakkelijker het is om een object te laten rollen, hoe sneller het lineair over de helling zal bewegen en de race zal winnen.
Omdat alle massa's en stralen hetzelfde zijn, onthult het eenvoudigweg vergelijken van de breuken voor elk traagheidsmoment het antwoord:
Massieve bol: ik =2/5Dhr2
Hoepel om een as: ik = mr2
Massieve cilinder over zijn lengte: ik =1/2Dhr2
Van kleinste naar grootste traagheidsmoment, en dus andals eerste de laatste om de bodem te bereiken: bol, cilinder, hoepel.