Formule voor een katrol

Met katrollen kunnen verschillende interessante situaties worden gecreëerd om het begrip van de studenten van de tweede bewegingswet van Newton, de wet van behoud van energie en de definitie van werk in de natuurkunde te testen. Een bijzonder leerzame situatie is te vinden in wat een differentieelschijf wordt genoemd, een veelgebruikt gereedschap dat in mechanische werkplaatsen wordt gebruikt voor zwaar hijswerk.

Net als bij een hefboom, verhoogt het vergroten van de afstand waarover een kracht wordt uitgeoefend, in vergelijking met de afstand waarop de last wordt opgetild, het mechanische voordeel of de hefboomwerking. Stel dat er twee blokken katrollen worden gebruikt. Men hecht aan een lading; men hecht hierboven aan een steun. Als de last X-eenheden moet worden geheven, moet het onderste katrolblok ook X-eenheden heffen. Het katrolblok hierboven beweegt niet omhoog of omlaag. Daarom moet de afstand tussen de twee katrolblokken de X-eenheden verkorten. De lengtes van de lijn die tussen de twee katrolblokken zijn gelust, moeten elk X-eenheden verkorten. Als er Y van dergelijke lijnen zijn, moet de trekker aan XY-eenheden trekken om de X-eenheden van de last op te tillen. De benodigde kracht is dus 1/Y maal het gewicht van de last. Het mechanische voordeel is Y: 1.

Deze hefboomwerking is een gevolg van de wet van behoud van energie. Bedenk dat werk een vorm van energie is. Met arbeid bedoelen we de natuurkundige definitie: kracht uitgeoefend op een belasting maal afstand waarover de belasting door de kracht wordt verplaatst. Dus als de last Z Newton is, moet de energie die nodig is om de X-eenheden op te tillen gelijk zijn aan het werk dat door de trekker wordt gedaan. Met andere woorden, ZX moet gelijk zijn aan (kracht uitgeoefend door trekker) XY. Daarom is de kracht die door de trekker wordt uitgeoefend Z/Y.

Een interessante vergelijking ontstaat wanneer je van de lijn een doorlopende lus maakt en het blok dat aan de steun hangt twee katrollen heeft, de ene iets kleiner dan de andere. Stel ook dat de twee katrollen in het blok zo zijn bevestigd dat ze samen draaien. Noem de stralen van de katrollen "R" en "r", waarbij R>r.

Als de trekker voldoende lijn uittrekt om de vaste katrollen één omwenteling te laten draaien, heeft hij 2πR lijn uitgetrokken. De grotere katrol heeft dan 2πR lijn in beslag genomen om de last te dragen. De kleinere katrol is in dezelfde richting gedraaid en laat 2πr lijn naar de lading los. Dus de belasting stijgt 2πR-2πr. Het mechanische voordeel is de afgelegde afstand gedeeld door de opgetilde afstand, ofwel 2πR/(2πR-2πr) = R/(R-r). Merk op dat als de radii slechts 2 procent verschillen, het mechanische voordeel maar liefst 50-tegen-1 is.

Zo'n poelie wordt een differentiële poelie genoemd. Het is een veelvoorkomend apparaat in autoreparatiewerkplaatsen. Het heeft de interessante eigenschap dat de lijn die de trekker trekt, los kan hangen terwijl een last wordt vastgehouden omhoog, omdat er altijd voldoende wrijving is om te voorkomen dat de tegengestelde krachten op de twee katrollen ervoor zorgen dat draaien.

Stel dat twee blokken zijn verbonden, en één, noem het M1, hangt aan een katrol. Hoe snel gaan ze accelereren? De tweede wet van Newton betreft kracht en versnelling: F=ma. De massa van de twee blokken is bekend (M1+M2). Versnelling is niet bekend. Kracht is bekend van de zwaartekracht op M1: F=ma =M1g, waarbij g de zwaartekrachtversnelling aan het aardoppervlak is.

Houd er rekening mee dat M1 en M2 samen worden versneld. Het vinden van hun versnelling, a, is nu slechts een kwestie van vervanging in de formule F=ma: M1g = (M1+M2)a. Als wrijving tussen M2 en de tafel een van de krachten is die F=M1g moet tegenwerken, dan is dat natuurlijk kracht kan ook gemakkelijk aan de rechterkant van de vergelijking worden toegevoegd, voordat versnelling, a, is opgelost voor.

Wat als beide blokken hangen? Dan heeft de linkerkant van de vergelijking twee toevoegingen in plaats van slechts één. De lichtere zal in de tegenovergestelde richting van de resulterende kracht reizen, aangezien de grotere massa de richting van het tweemassasysteem bepaalt; daarom moet de zwaartekracht op de kleinere massa worden afgetrokken. Stel M2>M1. Dan verandert de linkerkant hierboven van M1g in M2g-M1g. De rechterhand blijft hetzelfde: (M1+M2)a. Versnelling, a, wordt dan triviaal rekenkundig opgelost.