Kinematica is een wiskundige tak van de natuurkunde die vergelijkingen gebruikt om de beweging van objecten te beschrijven (in het bijzonder huntrajecten) zonder te verwijzen naar krachten.
Dat wil zeggen, u kunt eenvoudig verschillende getallen invoegen in de set van vier kinematische vergelijkingen om eventuele onbekenden in te vinden die vergelijkingen zonder enige kennis van de fysica achter die beweging nodig te hebben, alleen vertrouwend op je algebra vaardigheden.
Zie "kinematica" als een combinatie van "kinetiek" en "wiskunde" - met andere woorden, de wiskunde van beweging.
Rotatiekinematica is precies dit, maar het gaat specifiek over objecten die in cirkelvormige paden bewegen in plaats van horizontaal of verticaal. Net als objecten in de wereld van translatiebewegingen, kunnen deze roterende objecten worden beschreven in termen van hun verplaatsing, snelheid en versnelling in de tijd, hoewel sommige variabelen noodzakelijkerwijs veranderen om de basisverschillen tussen lineair en hoekig op te vangen beweging.
Het is eigenlijk heel handig om de basis van lineaire beweging en rotatiebeweging tegelijkertijd te leren, of op zijn minst kennis te maken met de relevante variabelen en vergelijkingen. Dit is niet om u te overweldigen, maar om de parallellen te onderstrepen.
Natuurlijk is het belangrijk om te onthouden dat bij het leren over deze "soorten" beweging in de ruimte, translatie en rotatie elkaar verre van uitsluiten. In feite vertonen de meeste bewegende objecten in de echte wereld een combinatie van beide soorten beweging, waarbij een ervan op het eerste gezicht vaak niet duidelijk is.
Voorbeelden van lineaire en projectielbewegingen
Omdat "snelheid" typisch "lineaire snelheid" betekent en "versnelling" "lineaire versnelling" betekent, tenzij anders aangegeven, is het gepast om een paar eenvoudige voorbeelden van basisbeweging te bekijken.
Lineaire beweging betekent letterlijk beweging beperkt tot een enkele lijn, vaak toegewezen aan de variabele "x". Projectielbewegingsproblemen hebben betrekking op zowel x- als y-dimensies en zwaartekracht is de enige externe kracht (merk op dat deze problemen worden beschreven als optredend in een driedimensionale wereld, bijv. "Een kanonskogel wordt ontslagen...").
Merk op dat massamvoert geen enkele kinematicavergelijkingen in, omdat het effect van de zwaartekracht op de beweging van objecten is onafhankelijk van hun massa, en hoeveelheden zoals momentum, traagheid en energie maken geen deel uit van vergelijkingen van beweging.
Een korte opmerking over radialen en graden
Omdat rotatiebeweging het bestuderen van cirkelvormige paden omvat (in niet-uniforme en uniforme cirkelvormige) beweging) in plaats van meters te gebruiken om de verplaatsing van een object te beschrijven, gebruik je radialen of graden in plaats daarvan.
De radiaal is, aan de oppervlakte, een onhandige eenheid, die zich vertaalt naar 57,3 graden. Maar één rit rond een cirkel (360 graden) wordt gedefinieerd als 2π radialen, en om redenen die je zo gaat zien, is dit in sommige gevallen handig bij het oplossen van problemen.
- De relatieπrad = 180 gradenkan worden gebruikt om eenvoudig tussen beide maateenheden te converteren.
Er kunnen problemen zijn met het aantal omwentelingen per tijdseenheid (rpm of rps). Onthoud dat elke omwenteling 2π radialen of 360 graden is.
Rotatiekinematica vs. Translationele kinematica-metingen
Translationele kinematica-metingen, of eenheden, hebben allemaal rotatie-analogen. In plaats van lineaire snelheid, die bijvoorbeeld beschrijft hoe ver een bal in een rechte lijn over een bepaald tijdsinterval rolt, is deroterendofhoeksnelheidbeschrijft de rotatiesnelheid van die bal (hoeveel hij roteert in radialen of graden per seconde).
Het belangrijkste om in gedachten te houden is dat elke translatie-eenheid een roterende analoog heeft. Leren om wiskundig en conceptueel de 'gepartnerde' relaties te relateren, vergt wat oefening, maar voor het grootste deel is het een kwestie van eenvoudige vervanging.
Lineaire snelheidvspecificeert zowel de grootte als de richting van de translatie van een deeltje; hoeksnelheidω(de Griekse letter omega) staat voor zijn singuliere snelheid, wat precies is hoe snel het object in radialen per seconde roteert. Evenzo is de snelheid van verandering vanω, de hoekversnelling, wordt gegeven doorα(alfa) in rad/s2.
de waarden vanωenαzijn hetzelfde voor elk punt op een vast object, of ze nu worden gemeten op 0,1 m van de rotatie-as of op 1000 meter afstand, want het is alleen hoe snel de hoekθveranderingen die ertoe doen.
Er zijn echter tangentiële (en dus lineaire) snelheden en versnellingen aanwezig in de meeste situaties waarin rotatiegrootheden worden gezien. Tangentiële grootheden worden berekend door hoekgrootheden te vermenigvuldigen metr, de afstand vanaf de rotatie-as:vt = renαt = αr.
Rotatiekinematica vs. Translationele kinematische vergelijkingen
Nu de meetanalogieën tussen roterende en lineaire beweging zijn gekwadrateerd door de introductie van nieuwe hoektermen, kunnen deze worden gebruikt om de vier klassieke translationele kinematicavergelijkingen in termen van rotatiekinematica, alleen met enigszins verschillende variabelen (de letters in vergelijkingen die onbekende hoeveelheden).
Er zijn vier fundamentele vergelijkingen en vier basisvariabelen in de kinematica: positie (X, jaofθ), snelheid (vofω), versnelling (eenofα) en tijdt. Welke vergelijking u kiest, hangt af van welke hoeveelheden onbekend zijn om te beginnen.
- [voeg een tabel in met lineaire/translationele kinematica-vergelijkingen die zijn uitgelijnd met hun rotatie-analogen]
Stel bijvoorbeeld dat u wordt verteld dat een machinearm een hoekverplaatsing van 3π/4 radialen heeft afgelegd met een initiële hoeksnelheidω0van 0 rad/s en een uiteindelijke hoeksnelheidωvan rad/s. Hoe lang heeft deze motie geduurd?
\theta = \theta_0 + \frac{1}{2}(\omega_0+\omega )t\implies \frac{3\pi}{4}=0+\frac{\pi}{2} t\implies t= 1.5\tekst{ s}
Hoewel elke translatievergelijking een rotatie-analoog heeft, is het omgekeerde niet helemaal waar vanwege de centripetale versnelling, die een gevolg is van de tangentiële snelheidvten wijst naar de rotatie-as. Zelfs als er geen verandering is in de snelheid van een deeltje dat om een massamiddelpunt draait, vertegenwoordigt dit versnelling omdat de richting van de snelheidsvector altijd verandert.
Voorbeelden van Rotatiekinematica Wiskunde
1. Een dunne staaf, geclassificeerd als een stijf lichaam met een lengte van 3 m, draait rond een as rond één uiteinde. Het versnelt gelijkmatig vanuit rust tot 3π rad/s2 over een periode van 10 s.
a) Wat zijn de gemiddelde hoeksnelheid en hoekversnelling gedurende deze tijd?
Net als bij lineaire snelheid, deel gewoon (ω0+ ω) met 2 om de gemiddelde hoeksnelheid te krijgen: (0 + 3π s-1)/2 = 1.5π zo-1.
- Radialen zijn een dimensieloze eenheid, dus in kinematische vergelijkingen wordt de hoeksnelheid uitgedrukt als s-1.
De gemiddelde versnelling wordt gegeven doorω=ω0+ t, ofα= (3π s-1/10 s) =0.3π s-2.
b) Hoeveel volledige omwentelingen maakt de staaf?
Aangezien de gemiddelde snelheid 1,5π s. is-1 en de staaf draait gedurende 10 seconden, hij beweegt door in totaal 15radi radialen. Aangezien één omwenteling 2π radialen is, betekent dit (15π/2π) = 7,5 omwentelingen (zeven volledige omwentelingen) in dit probleem.
c) Wat is de tangentiële snelheid van het uiteinde van de staaf op tijdstip t = 10 s?
Sindsvt = r, enωop tijdstip t = 10 is 3π s-1, vt= (3π s-1)(3 m) =9πm/s.
Het traagheidsmoment
ikwordt gedefinieerd als het traagheidsmoment (ook weltweede moment van gebied) in roterende beweging, en het is analoog aan massa voor rekenkundige doeleinden. Het verschijnt dus waar massa zou verschijnen in de wereld van lineaire beweging, misschien wel het belangrijkste bij het berekenen van impulsmomentL. Dit is het product vanikenω,en is een vector met dezelfde richting alsω.
ik = mr2 voor een puntdeeltje, maar verder hangt het af van de vorm van het object dat zowel de rotatie als de rotatie-as uitvoert. Zie de bronnen voor een handige lijst met waarden vanikvoor veelvoorkomende vormen.
Massa is anders omdat de hoeveelheid in de rotatiekinematica waarop het betrekking heeft, het traagheidsmoment, zelf eigenlijk isbevatmassa als bestanddeel.