Het berekenen van de baan van een kogel is een nuttige introductie tot enkele sleutelbegrippen in de klassieke natuurkunde, maar biedt ook veel ruimte om complexere factoren mee te nemen. Op het meest basale niveau werkt de baan van een kogel net als de baan van elk ander projectiel. De sleutel is het scheiden van de componenten van de snelheid in de (x) en (y) assen en het gebruik van de constante versnelling als gevolg van de zwaartekracht om uit te zoeken hoe ver de kogel kan vliegen voordat hij de grond raakt. U kunt echter ook slepen en andere factoren opnemen als u een nauwkeuriger antwoord wilt.
Negeer de windweerstand om de door een kogel afgelegde afstand te berekenen met behulp van de eenvoudige formule:
x=v_{0x}\sqrt{\frac{2h}{g}}
waar (v0x) is de startsnelheid, (h) is de hoogte waarvandaan wordt afgevuurd en (g) is de versnelling als gevolg van de zwaartekracht.
Deze formule bevat slepen:
x=v_{0x}t-\frac{C\rho A v^2t^2}{2m}
Hier is (C) de luchtweerstandscoëfficiënt van de kogel, (ρ) de luchtdichtheid, (A) de oppervlakte van de kogel, (t) de vliegtijd en (m) de massa van de kogel.
De achtergrond: (x) en (y) componenten van snelheid
Het belangrijkste punt dat u moet begrijpen bij het berekenen van trajecten is dat snelheden, krachten of elke andere "vector" (die zowel een richting als een sterkte heeft) kan worden opgesplitst in 'componenten'. Als iets in een hoek van 45 graden met de horizontaal beweegt, beschouw het dan als horizontaal bewegen met een bepaalde snelheid en verticaal met een bepaalde snelheid. snelheid. Door deze twee snelheden te combineren en rekening te houden met hun verschillende richtingen, krijg je de snelheid van het object, inclusief zowel snelheid als hun resulterende richting.
Gebruik de functies cos en sin om krachten of snelheden in hun componenten te scheiden. Als iets beweegt met een snelheid van 10 meter per seconde in een hoek van 30 graden met de horizontaal, is de x-component van de snelheid:
v_x=v\cos{\theta}=(10\text{ m/s})\cos{30}=8.66\text{ m/s}
Waarbij (v) de snelheid is (d.w.z. 10 meter per seconde), en u kunt elke hoek in de plaats van de (θ) plaatsen om aan uw probleem te voldoen. De component (y) wordt gegeven door een vergelijkbare uitdrukking:
v_y=v\sin{\theta}=(10\text{ m/s})\sin{30}=5\text{ m/s}
Deze twee componenten vormen de oorspronkelijke snelheid.
Basistrajecten met de constante versnellingsvergelijkingen
De sleutel tot de meeste problemen met banen is dat het projectiel stopt met naar voren bewegen wanneer het de vloer raakt. Als de kogel vanaf 1 meter in de lucht wordt afgevuurd, kan hij niet verder reizen als de versnelling door de zwaartekracht hem 1 meter naar beneden brengt. Dit betekent dat de y-component het belangrijkste is om te overwegen.
De vergelijking voor de verplaatsing van de y-component is:
y=v_{0y}t-\frac{1}{2}gt^2
Het subscript "0" betekent de startsnelheid in de (y) richting, (t) betekent tijd en (g) betekent de versnelling als gevolg van de zwaartekracht, die 9,8 m/s is2. We kunnen dit vereenvoudigen als de kogel perfect horizontaal wordt afgevuurd, en dus geen snelheid in de (y) richting heeft. Dit laat:
y=-\frac{1}{2}gt^2
In deze vergelijking betekent (y) de verplaatsing vanaf de startpositie, en we willen weten hoe lang het duurt voordat de kogel van zijn starthoogte (h) valt. Met andere woorden, we willen
y=-h=-\frac{1}{2}gt^2
Die je opnieuw regelt om:
t=\sqrt{\frac{2h}{g}}
Dit is de vluchttijd voor de kogel. De voorwaartse snelheid bepaalt de afstand die het aflegt, en dit wordt gegeven door:
x=v_{0x}t
Waar de snelheid de snelheid is waarmee het het pistool verlaat. Dit negeert de effecten van slepen om de wiskunde te vereenvoudigen. Met behulp van de vergelijking voor (t) die zojuist is gevonden, is de afgelegde afstand:
x=v_{0x}\sqrt{\frac{2h}{g}}
Voor een kogel die vuurt met 400 m/s en vanaf 1 meter hoogte wordt afgeschoten, geeft dit:
x=(400\text{ m/s})\sqrt{\frac{2(1\text{ m})}{9.8\text{ m/s}^2}}=180.8\text{ m}
Dus de kogel reist ongeveer 181 meter voordat hij de grond raakt.
Inclusief Drag
Voor een meer realistisch antwoord, bouw drag in de bovenstaande vergelijkingen in. Dit compliceert de zaken een beetje, maar je kunt het gemakkelijk genoeg berekenen als je de benodigde stukjes informatie vindt over je kogel en de temperatuur en druk waar deze wordt afgevuurd. De vergelijking voor de kracht als gevolg van weerstand is:
F_{drag}=\frac{-C\rho Av^2}{2}
Hier stelt (C) de luchtweerstandscoëfficiënt van de kogel voor (u kunt erachter komen voor een specifieke kogel, of gebruik C = 0,295 als een algemeen cijfer), ρ is de luchtdichtheid (ongeveer 1,2 kg/kubieke meter bij normale druk en temperatuur), (A) is de dwarsdoorsnede van een kogel (u kunt dit uitrekenen voor een specifieke kogel of gewoon A = 4,8 × gebruiken 10−5 m2, de waarde voor een .308 kaliber) en (v) is de snelheid van de kogel. Ten slotte gebruik je de massa van de kogel om deze kracht om te zetten in een versnelling om te gebruiken in de vergelijking, die kan worden genomen als m = 0,016 kg, tenzij je een specifieke kogel in gedachten hebt.
Dit geeft een meer gecompliceerde uitdrukking voor de afgelegde afstand in de (x) richting:
x=v_{0x}t-\frac{C\rho A v^2t^2}{2m}
Dit is ingewikkeld omdat technisch gezien de weerstand de snelheid vermindert, wat op zijn beurt de weerstand vermindert, maar je kunt dingen vereenvoudigen door de weerstand gewoon te berekenen op basis van de beginsnelheid van 400 m/s. Bij gebruik van een vliegtijd van 0,452 s (zoals voorheen) geeft dit:
x=(400\text{ m/s})(0.452\text{ s})-\frac{(0.295)(1.2\text{ kg/m}^3)(4.8\times10^{-5}\text { m}^2)(400\tekst{ m/s})^2(0.452\tekst{ s})^2}{2(0.016\text{ kg})}\\=180.8\text{ m}-\frac{0.555\text{ kgm}}{0.032\text{ kg}}\\=180.8\ tekst{ m}-17.3\text{ m}\\=163.5\text{ m}
Dus de toevoeging van weerstand verandert de schatting met ongeveer 17 meter.