Trillingen zijn overal om ons heen, van de macroscopische wereld van slingers en de vibratie van snaren tot de microscopische wereld van de beweging van elektronen in atomen en elektromagnetische straling.
Beweging als deze die een voorspelbaar herhalend patroon ondergaat, staat bekend als:periodieke bewegingofoscillerende bewegingen leren over de grootheden waarmee je elk type oscillerende beweging kunt beschrijven, is een belangrijke stap in het leren van de fysica van deze systemen.
Een bepaald type periodieke beweging dat gemakkelijk wiskundig te beschrijven is, is:simpele harmonische beweging, maar als je eenmaal de belangrijkste concepten hebt begrepen, is het gemakkelijk om te generaliseren naar complexere systemen.
Periodieke beweging
Periodieke beweging, of gewoon herhaalde beweging, wordt gedefinieerd door drie belangrijke grootheden: amplitude, periode en frequentie. Deamplitude EENvan elke periodieke beweging is de maximale verplaatsing vanaf de evenwichtspositie (die je kunt bedenken) als de “rust” positie, zoals de stationaire positie van een snaar of het laagste punt op een slinger pad).
Deperiode Tvan elke oscillerende beweging is de tijd die het object nodig heeft om één bewegingscyclus te voltooien. Een slinger op een klok kan bijvoorbeeld elke twee seconden een volledige cyclus voltooien, en dus zou het:T= 2 s.
Defrequentie fis het omgekeerde van de periode, of met andere woorden, het aantal voltooide cycli per seconde (of tijdseenheid,t). Voor de slinger op een klok voltooit hij een halve cyclus per seconde, en dus heeft hijf= 0,5 Hz, waarbij 1 hertz (Hz) één oscillatie per seconde betekent.
Eenvoudige harmonische beweging (SHM)
Eenvoudige harmonische beweging (SHM) is een speciaal geval van periodieke beweging, waarbij de enige kracht een herstellende kracht is en de beweging een eenvoudige oscillatie. Een van de basiseigenschappen van SHM is dat de herstelkracht recht evenredig is met de verplaatsing vanuit de evenwichtspositie.
Terugkerend naar het voorbeeld van een touwtje dat wordt geplukt, hoe verder je het uit de rustpositie trekt, hoe sneller het ernaartoe terug zal bewegen. De andere belangrijke eigenschap van eenvoudige harmonische beweging is dat de amplitude onafhankelijk is van de frequentie en periode van de beweging.
Het eenvoudigste geval van eenvoudige harmonische beweging is wanneer de oscillerende beweging slechts in één richting is (d.w.z. beweging heen en weer), maar u kan andere soorten beweging (bijvoorbeeld cirkelvormige beweging) modelleren als een combinatie van meerdere gevallen van eenvoudige harmonische beweging in verschillende richtingen, te.
Enkele voorbeelden van eenvoudige harmonische beweging zijn een massa op een veer die op en neer beweegt als gevolg van een uitzetting of compressie van de veer, een slinger met een kleine hoek heen en weer schommelen onder invloed van de zwaartekracht en zelfs tweedimensionale voorbeelden van cirkelvormige bewegingen zoals een kind dat rondrijdt op een draaimolen of draaimolen.
Bewegingsvergelijkingen voor eenvoudige harmonische oscillatoren
Zoals in de vorige paragraaf is aangegeven, is er een interessant verband tussen eenparige cirkelbeweging en eenvoudige harmonische beweging. Stel je een punt voor op een cirkel die met een constante snelheid rond een vaste as draait, en dat je de. volgdeX-coördinaat van dit punt tijdens zijn cirkelvormige beweging.
De vergelijkingen die de beschrijvenXpositie,Xsnelheid enXversnelling van dit punt beschrijft de beweging van een eenvoudige harmonische oscillator. Gebruik makend vanX(t) voor positie als functie van de tijd,v(t) voor snelheid als functie van tijd eneen(t) voor versnelling als functie van de tijd zijn de vergelijkingen:
x (t) = A \sin (ωt) \\ v (t) = −Aω \cos (ωt) \\ a (t) = −Aω^2 \sin (ωt)
Waarωis de hoekfrequentie (gerelateerd aan gewone frequentie doorω = 2πf) in eenheden van radialen per seconde, en we gebruiken tijdtzoals in de meeste vergelijkingen. Zoals vermeld in het eerste deel,EENis de amplitude van de beweging.
Op basis van deze definities kun je eenvoudige harmonische beweging en oscillerende beweging in het algemeen karakteriseren. U kunt bijvoorbeeld aan de sinusfunctie in zowel de positie- als de versnellingsvergelijking zien dat deze twee samen variëren, en dus vindt maximale versnelling plaats bij de maximale verplaatsing. De snelheidsvergelijking is afhankelijk van de cosinus, die zijn maximale (absolute) waarde precies halverwege de maximale versnelling (of verplaatsing) in deXof -Xrichting, of met andere woorden, op de evenwichtspositie.
Mis op een lente
De wet van Hooke beschrijft een vorm van eenvoudige harmonische beweging voor een veer en stelt dat de herstelkracht voor de veer evenredig is met de verplaatsing vanuit evenwicht (∆X, d.w.z. veranderen inX), en heeft een "constante van evenredigheid", de veerconstante,k. In symbolen stelt de vergelijking:
F_{spring} = −k∆x
Het minteken hier vertelt je dat de kracht een herstellende kracht is, die in de tegenovergestelde richting van de verplaatsing werkt en wordt gemeten in de SI-eenheid van kracht, de newton (N).
voor een mismop een veer wordt de maximale verplaatsing (amplitude) opnieuw genoemdEEN, enωis gedefinieerd als:
ω = \sqrt{\frac{k}{m}}
Deze vergelijking kan worden gebruikt met de positievergelijking voor eenvoudige harmonische beweging (om de positie van de massa op elk moment te vinden), en vervolgens gesubstitueerd in de plaats van de ∆Xin de wet van Hooke om op elk moment de grootte van de herstellende kracht te bepalent. De volledige relatie voor de herstellende kracht zou zijn:
F_{spring} = −k A \sin \bigg(\sqrt{\frac{k}{m}} t\bigg)
Slinger met kleine hoek
Voor een slinger met een kleine hoek is de terugstelkracht evenredig met de maximale hoekverplaatsing (d.w.z. de verandering van de evenwichtspositie uitgedrukt als een hoek). Hier de amplitudeEENis de maximale hoek van de slinger enωis gedefinieerd als:
ω = \sqrt{\frac{g}{L}}
Waarg= 9,81 m/s2 enLis de lengte van de slinger. Nogmaals, dit kan in de bewegingsvergelijkingen worden vervangen door eenvoudige harmonische beweging, behalve dat u moet opmerken dat:Xzou in dit geval verwijzen naar dehoekigverplaatsing in plaats van de lineaire verplaatsing in dex-richting. Dit wordt soms aangegeven met het symbool theta (θ) in plaats van deXin dit geval.
Gedempte trillingen
In veel gevallen in de natuurkunde worden complicaties zoals wrijving verwaarloosd om de berekeningen eenvoudiger te maken in situaties waarin ze waarschijnlijk toch te verwaarlozen zouden zijn. Er zijn uitdrukkingen die u kunt gebruiken als u een geval moet berekenen waarin wrijving belangrijk wordt, maar het belangrijkste punt is: onthoud is dat als rekening wordt gehouden met wrijving, oscillaties "gedempt" worden, wat betekent dat ze bij elk in amplitude afnemen oscillatie. De periode en frequentie van de trilling blijven echter onveranderd, zelfs in aanwezigheid van wrijving.
Geforceerde oscillaties en resonantie
Resonantie is in feite het tegenovergestelde van een gedempte oscillatie. Alle objecten hebben een natuurlijke frequentie, waarmee ze "graag" oscilleren, en als de oscillatie op deze frequentie wordt gedwongen of aangedreven (door een periodieke kracht), zal de amplitude van de beweging toenemen. De frequentie waarop resonantie optreedt, wordt de resonantiefrequentie genoemd en in het algemeen hebben alle objecten hun eigen resonantiefrequentie, die afhankelijk is van hun fysieke kenmerken.
Net als bij demping wordt het berekenen van beweging onder deze omstandigheden ingewikkelder, maar het is mogelijk als je een probleem aanpakt dat dit vereist. Het is echter voldoende om de belangrijkste aspecten te begrijpen van hoe het object zich in deze situaties gedraagt voor de meeste doeleinden, vooral als dit de eerste keer is dat je leert over de fysica van oscillaties!