Hoe dy/dx te vinden door middel van impliciete differentiatie Gegeven een vergelijkbare vergelijking als y=sin (xy)

Impliciete differentiatie is een techniek die wordt gebruikt om de afgeleide te bepalen van een functie in de vorm y = f (x).

Om te leren hoe we impliciete differentiatie kunnen gebruiken, kunnen we de methode op een eenvoudig voorbeeld gebruiken en vervolgens enkele complexere gevallen onderzoeken.

Hoewel het ingewikkelder klinkt, gebruikt impliciete differentiatie dezelfde wiskunde en vaardigheden als basisdifferentiatie. Het belangrijkste om op te merken is echter dat onze afhankelijke variabele nu in de functie zelf verschijnt.

Neem een ​​eenvoudige vergelijking zoals xy = 1. Er zijn twee manieren om de afgeleide van te vinden ja rekeninghoudend met X, of dy/dx. Ten eerste kunnen we eenvoudig oplossen voor ja in de vergelijking en gebruik de machtsregel voor afgeleiden. Dit zou opleveren: y = 1/x. Het toepassen van de machtsregel zou daarom onthullen dat dy/dx = -1/x².

We kunnen dit probleem ook oplossen met behulp van impliciete differentiatie. Gelukkig weten we het antwoord al (het zou hetzelfde moeten zijn, ongeacht hoe we het berekenen), dus we kunnen ons werk controleren!

Pas om te beginnen de afgeleide toe op beide zijden van de vergelijking xy = 1. Dan, d/dx (xy) = d/dx (1); duidelijk is de rechterkant nu gelijk aan 0, maar de linkerkant vereist de kettingregel. Dit komt omdat we de afgeleide van onze functie nemen, ja, terwijl het wordt vermenigvuldigd met een andere factor van X. Om dit te berekenen: d/dx (x) y + x (d/dx (y)) = y + xy'. We zullen de priemnotatie gebruiken om een ​​afgeleide aan te geven met betrekking tot X.

Het herschrijven van onze vergelijking levert: y + xy' = 0 op. Het is tijd om op te lossen voor jij in onze vergelijking! Het is duidelijk dat y' = -y/x. Maar als we de originele informatie gebruiken, weten we dat y= 1/x, dus we kunnen dit er weer in vervangen. Als we dat doen, zien we dat y' = -1/x², net zoals we eerder vonden.

Om de afgeleide van y = sin (xy) te bepalen, gebruiken we impliciete differentiatie door te onthouden dat (d/dx) y = y'.

Pas eerst de afgeleide toe op beide zijden van de vergelijking: d/dx (y) = d/dx (sin (xy)). De linkerkant van de vergelijking is duidelijk jij, dat is wat we zullen moeten oplossen, maar de rechterkant zal wat werk vergen; specifiek de kettingregel en de productregel. Eerst moet de kettingregel worden toegepast op sin (xy), en vervolgens de productregel voor het argument xy. Gelukkig hebben we deze productregel al berekend.

Dit vereenvoudigt vervolgens: y' = cos (xy)(y + xy').

Het is duidelijk dat deze vergelijking moet worden opgelost voor: jij om te bepalen hoe jij is gerelateerd aan X en ja.

Isoleer alle termen met jij aan de ene kant: y' - xy'cos (xy) = ycos (xy).

Factor dan de jij krijgen: y'(1 - xcos (xy)) = ycos (xy).

Nu zien we dat y' = ycos (xy)/(1-xcos (xy)).

Verdere vereenvoudiging is noodzakelijk, maar omdat onze functie recursief is gedefinieerd, zal het invoeren van y = sin (xy) waarschijnlijk geen bevredigende oplossing opleveren. In dit geval kan meer informatie of een meer geavanceerde methode voor het plotten van deze vergelijkingen nuttig zijn.

Onthoud ten eerste dat impliciete differentiatie ervan uitgaat dat een van de variabelen een functie is van de andere. Gewoonlijk zien we functies als y = f (x), maar men zou een functie x = f (y) kunnen schrijven. Wees voorzichtig bij het benaderen van deze problemen om te bepalen welke variabele afhankelijk is van de andere.

Denk er vervolgens aan om afgeleide regels zorgvuldig toe te passen. Impliciete differentiatie zal heel vaak de kettingregel vereisen, evenals de productregel en de quotiëntregel. Het correct toepassen van deze methoden is essentieel om het uiteindelijke antwoord te bepalen.

Los ten slotte de gewenste afgeleide op door deze te isoleren en de uitdrukkingen zo veel mogelijk te vereenvoudigen.